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1、6.2.1 偏导数,6.2.2 全微分,6.2 偏导数与全微分,设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处取得改变量 ，而自变量 保持不变时，函数相应的改变量,称为函数 关于 的偏增量.,类似地，函数 关于 的偏增量为,6.2.1 偏导数,返回,1/25,上一页,上一页,6.2.1 偏导数,返回,2/25,定义6.5 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果极限,(6.2.1),存在，则称此极限值为函数 在点 处对 的偏导数，记作,6.2.1 偏导数,返回,3/25,6.2.1 偏导数,返回,4/25,如果函数 在平面区域 内的每一点 处都存在对 (或 )的偏导数，则称函数 在 内存在对
2、 (或 )的偏导函数，简称函数 在 内有偏导数，记作,6.2.1 偏导数,返回,5/25,由定义6.5可知，函数 在点 处的偏导数就是函数 在点 处沿 轴或 轴方向的变化率；而求 对于自变量 (或 )的偏导数时，只需将另一自变量 (或 )看作常数，直接利用一元函数求导公式和四则运算法则计算.,6.2.1 偏导数,返回,6/25,解,，,，,6.2.1 偏导数,返回,7/25,例1 设 ，求 ， ， 和 ,例2 设 ，求 ， .,解,例3 设 ，求 ， .,6.2.1 偏导数,返回,8/25,解,6.2.1 偏导数,返回,9/25,如果 ， 对自变量 和 的偏导数也存在，则它们的偏导数称为 的二
3、阶偏导数，记为,类似可得,6.2.1 偏导数,返回,10/25,，,或简记为 ， ， ，或 ， ， ， .,6.2.1 偏导数,返回,11/25,当二阶偏导数 ， 为 ， 的连 续函数时，可以证明 .,例4 设 ，求 ， ， ， .,解 ；,6.2.1 偏导数,返回,12/25,；,；,；,6.2.1 偏导数,返回,13/25,；,6.2.1 偏导数,返回,14/25,6.2.2 全微分,返回,15/25,当 时， 是比 高阶的无穷小量故可略去 ，而用 近似地表示 我们把 称为 的微分,记为 即,6.2.2 全微分,返回,16/25,6.2.2 全微分,定义6.6 设函数 对于自变量在点 处的
4、改变量 ， ，对应的全增量,其中 ， 是 ， 的函数，与 ， 无关；,返回,17/25,这时，我们称函数在点 处 可微.,(6.2.4),返回,18/25,6.2.2 全微分,可以证明：如果函数 在点 的某一邻域内有连续偏导数 和，则函数 在点 处可微，并且, (6.2.5),6.2.2 全微分,返回,19/25,由于全微分 可以近似地表示全增量 ，于是,，,所以,，(6.2.6),这一结论在近似计算中有一定的应用.,6.2.2 全微分,返回,20/25,解,例6 求函数 的全微分.,6.2.2 全微分,返回,21/25,所以,6.2.2 全微分,返回,22/25,例7 设 ，求(1) ，(2)当 ， ； ， 时， 的值,解 （1） ， ，所以,6.2.2 全微分,返回,23/25,例8 计算 ,6.2.2 全微分,返回,24/25,6.2.2 全微分,当 ， ； ， 时，,于是，由(6.2.6)有,.,，,返回,25/25,下一页,下一页,
