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1、6.2.1 偏导数,6.2.2 全微分,6.2 偏导数与全微分,设函数 在点 的某一邻域内有定义,当自变量 在 处取得改变量 ,而自变量 保持不变时,函数相应的改变量,称为函数 关于 的偏增量.,类似地,函数 关于 的偏增量为,6.2.1 偏导数,返回,1/25,上一页,上一页,6.2.1 偏导数,返回,2/25,定义6.5 设函数 在点 的某一邻域内有定义,如果极限,(6.2.1),存在,则称此极限值为函数 在点 处对 的偏导数,记作,6.2.1 偏导数,返回,3/25,6.2.1 偏导数,返回,4/25,如果函数 在平面区域 内的每一点 处都存在对 (或 )的偏导数,则称函数 在 内存在对
2、 (或 )的偏导函数,简称函数 在 内有偏导数,记作,6.2.1 偏导数,返回,5/25,由定义6.5可知,函数 在点 处的偏导数就是函数 在点 处沿 轴或 轴方向的变化率;而求 对于自变量 (或 )的偏导数时,只需将另一自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则计算.,6.2.1 偏导数,返回,6/25,解,,,,,6.2.1 偏导数,返回,7/25,例1 设 ,求 , , 和 ,例2 设 ,求 , .,解,例3 设 ,求 , .,6.2.1 偏导数,返回,8/25,解,6.2.1 偏导数,返回,9/25,如果 , 对自变量 和 的偏导数也存在,则它们的偏导数称为 的二
3、阶偏导数,记为,类似可得,6.2.1 偏导数,返回,10/25,,,或简记为 , , ,或 , , , .,6.2.1 偏导数,返回,11/25,当二阶偏导数 , 为 , 的连 续函数时,可以证明 .,例4 设 ,求 , , , .,解 ;,6.2.1 偏导数,返回,12/25,;,;,;,6.2.1 偏导数,返回,13/25,;,6.2.1 偏导数,返回,14/25,6.2.2 全微分,返回,15/25,当 时, 是比 高阶的无穷小量故可略去 ,而用 近似地表示 我们把 称为 的微分,记为 即,6.2.2 全微分,返回,16/25,6.2.2 全微分,定义6.6 设函数 对于自变量在点 处的
4、改变量 , ,对应的全增量,其中 , 是 , 的函数,与 , 无关;,返回,17/25,这时,我们称函数在点 处 可微.,(6.2.4),返回,18/25,6.2.2 全微分,可以证明:如果函数 在点 的某一邻域内有连续偏导数 和,则函数 在点 处可微,并且, (6.2.5),6.2.2 全微分,返回,19/25,由于全微分 可以近似地表示全增量 ,于是,,,所以,,(6.2.6),这一结论在近似计算中有一定的应用.,6.2.2 全微分,返回,20/25,解,例6 求函数 的全微分.,6.2.2 全微分,返回,21/25,所以,6.2.2 全微分,返回,22/25,例7 设 ,求(1) ,(2)当 , ; , 时, 的值,解 (1) , ,所以,6.2.2 全微分,返回,23/25,例8 计算 ,6.2.2 全微分,返回,24/25,6.2.2 全微分,当 , ; , 时,,于是,由(6.2.6)有,.,,,返回,25/25,下一页,下一页,