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1、第1章 Fourier 变换,Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换,它既能够,简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等 ),又具有,非常特殊的物理意义。,的地位,而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。,展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关,内容,因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。,1.1 Fourier 积分与Fourier变换,因此,Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发,1.1 Fourier 积分与Fourier变换,一、周期函数的 Fourier
2、级数,二、非周期函数的 Fourier 变换,一、周期函数的 Fourier 级数,1. 简谐波的基本概念,简谐波,为基本周期;,为频率。,一、周期函数的 Fourier 级数,2. 正交函数系,函数系,2. 正交函数系,特点,由 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。,(1) 周期性,(2) 正交性,一、周期函数的 Fourier 级数,区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件):,则在 的连续点处有,3. Fourier 级数的三角形式,一、周期函数的 Fourier 级数,在 的间断处,上式左端为,称之为基频。,( Dirichlet 定理),定理,3. Fourier 级数
3、的三角形式,其中,(A),一、周期函数的 Fourier 级数,4. Fourier 级数的物理含义,令,则 (A) 式变为,一、周期函数的 Fourier 级数,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。,频率成份,其频率是以基频 为间隔离散取值的。”,这是周期信号的一个非常重要的特点。,4. Fourier 级数的物理含义,一、周期函数的 Fourier 级数,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,4. Fourier 级数的物理含义,所占有的份额;,沿时间轴移动的大小。,一、周期函数的 Fourier 级数,5. Fourier 级数的指数形式,代入 (A) 式并整理得,根据
4、Euler 公式,可得,一、周期函数的 Fourier 级数,5. Fourier 级数的指数形式,推导,则有,令,其中,一、周期函数的 Fourier 级数,(2) 计算系数 时, 其中的积分可以在任意,一个长度为 T 的区间上进行。,(3) 采用周期延拓技术,可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。,5. Fourier 级数的指数形式,一、周期函数的 Fourier 级数,6. 离散频谱与频谱图,得,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,一、周期函数的 Fourier 级数,6. 离散频谱与频谱图,一、周期函数的 Fourier 级数,借助 Fourier 级数展开,使得人们能够完
5、全了解一个,信号的频率特性,从而认清了一个信号的本质,这种对,信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。,但是,Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函,数, 而在工程实际问题中, 大量遇到的是非周期函数,,那么,对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?,二、非周期函数的傅里叶变换,二、非周期函数的傅里叶变换,(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。,1. 简单分析,当 T 越来越大时,取值间隔越来越小;,当 T 趋于无穷时,取值间隔趋向于零,,因此,一个非周期函数将包含所有的频率成份。,其频谱是以 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2) 当 时,频率特
6、性发生了什么变化?,二、非周期函数的 傅里叶变换,1. 简单分析,(3) 当 时,级数求和发生了什么变化?,二、非周期函数的傅里叶变换,1. 简单分析,分析,分析,则,按照积分定义,在一定条件下,(C) 式可写为,记,(3) 当 时,级数求和发生了什么变化?,二、非周期函数的傅里叶变换,1. 简单分析,二、非周期函数的傅里叶变换,2. Fourier 积分公式,(2) Fourier 逆变换,二、非周期函数的傅里叶变换,-1,3. Fourier 变换的定义,注 上述变换中的广义积分为柯西主值。,二、非周期函数的傅立叶变换,4. Fourier 变换的物理意义,与 Fourier 级数的物理意
7、义一样,Fourier 变换同样,刻画了一个非周期函数的频谱特性,不同的是,非周期,函数的频谱是连续取值的。,书上例12及例16,(2) 振幅谱为,相位谱为,解,(3) 求 Fourier 逆变换,即可得到的 Fourier 积分表达式。,解,-1,一般地,有,特别地,有,注,解,相位谱为,若 上式右端为,于是,P4 例1-1,历史回顾 Fourier级数,附:,历史回顾 Fourier级数,附:,1829 年,德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。时年 24 岁。,1830年 5 月 16 日,Fourier 在巴黎去世。,历史回顾 Fourier级数,附:,人物介绍 狄利克雷,附:,附:,人物介绍 傅立叶,附:抽样信号,抽样信号在连续(时间)信号的离散化、离散(时间)信号的,精确恢复以及信号的滤波中发挥着重要的作用。,附:低通滤波,它所对应的频谱函数 称为理想低通滤波器。,当用理想低通滤波器 与其它信号的频谱函数相乘时,,能使信号的低频成份完全通过(保留),高频成份完全压制。,