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1、第 6 章 力 法,6-1 超静定结构和超静定次数,6-2 力法的基本概念,6-3 超静定刚架和排架,6-5 对称结构的计算,6-6 两铰拱,6-7 无铰拱,6-8 支座移动和温度改变时的计算,6-9 超静定结构的位移计算,6-10 超静定结构的校核,6-12 小结,6-4 超静定桁架和组合结构,6-11 用求解器进行力法计算(略),超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别,静定结构的内力只根据静力平衡条件即可求出，不必考虑变形协调条件。,超静定结构的内力必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件才能全部求出。,静力特征:仅由静力平衡方程不能求出全部反力和内力。,几何特征:有多余约束的几何不变体系
2、。,1 超静定结构的组成,6-1 超静定结构的组成和超静定次数,从几何构造看,2 超静定次数,超静定次数 = 多余约束力的个数 =未知力个数 平衡方程的个数,超静定次数 = 多余约束的个数,从静力分析看,2次超静定,4次超静定,3次超静定,6次超静定,判断超静定次数时，应注意,（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。,（2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。,（3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。,（4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。,! 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即 不能去掉必要约束。,! 要把全部多余约束都拆除。,(1) 力法的基
3、本未知量,6-2 力法的基本概念,1 基本思路,(2)力法的基本体系和基本结构,多余约束力 基本未知量,含有多余约束力的静定结构 基本体系,去掉多余约束力和荷载后的静定结构 基本结构,(3) 力法的基本方程,原结构,基本体系在去掉多余约束处的位移与原结构相同,变形协调条件,M图,FQ图,求出多余约束力后，就可以按静定结构计算剪力了,2 多次超静定结构的计算,解,基本体系B点的水平位移和竖向位移等于零，即,力法的基本体系不是唯一的,!瞬变体系不能作为力法的基本体系,n 次超静定结构,力法的典型方程, 柔度系数， j方向的单位力引起的i方向的位移；, 自由项， 荷载引起的i方向的位移。,互等定理,
4、计算刚架和排架位移时，为了简化，通常忽略轴力 和剪力的影响； 轴力的影响在高层刚架的柱中比较大，需要考虑； 剪力的影响在短而粗的杆件中比较大，需要考虑；,6-3 超静定刚架和排架,例6-1 试作图示单跨梁的内力图。I1:I2=2:1。,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,（3）求系数和自由项,（5）作内力图,（4）求多余约束力,2）作剪力图,1）作弯矩图,以杆件为隔离体，利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出杆端剪力。,3）作轴力图,以适当的结点为隔离体，利用平衡条件求轴力,例 6-2 试求在所示吊车荷载下的内力。已知IS1=10.1104cm4 ，IX1=28.610
5、4cm4，IS2=16.1104cm4 ，IX2=81.8104cm4，MH= FPH e =43.2kN.m ，M E= FPE e =17.6kN.m 。,（2）列出力法方程,11X1+ 12X2 +1P=0 21X1+ 22X2+ 2P=0,解,（1）选取基本体系,（3）计算系数和自由项,图(m),图(m),图(kNm),（4）求多余约束力,（5）作M图,例 6-3 求图示超静定桁架的轴力。各杆材料相同，截面面积在表 6.1中给出,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,6-4 超静定桁架和组合结构,（3）计算系数和自由项,图,图（kN）,（4）解方程,（5）作F
6、N图,例 6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40104kN.m2； EA=1.99106kN； AC、CD杆：EA=2.56105kN； BC杆：EA=2.02105kN,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,图,（3）计算系数和自由项,图(m),图(kNm),（4）求多余约束力,（5）作M图、FN图,没有桁架支撑，横梁弯矩明显增大。,图（kN）,图(kNm),（6）讨论,图(kNm),图(kNm),若下部桁架的截面很大，横梁最大弯矩可进一步减小。,支承不对称,刚度不对称,几何、支承、刚度对称,对称结构,非对称结构,对称结构,（1）结构的几何形
7、式和支撑情况对某轴对称。 （2）杆件截面和材料性质也对此轴对称。,6-5 对称结构的计算,荷载分组：作用在对称结构上的任何荷载都可分解为两组。,（1）对称荷载 绕对称轴对折后，左右两部分荷载作用点相对应、数值相等、方向相同；,（2）反对称荷载 绕对称轴对折后，左右两部分荷载作用点相对应、数值相等、方向相反；,反对称荷载分组,对称荷载分组,一般荷载作用，取对称基本结构,只含反对称未知量,取对称基本结构，可使方程部分解偶。,只含对称未知量,正对称荷载作用：取对称基本结构,反对称的未知量=0,对称结构正对称荷载作用， M图和FN图正对称， FQ图反对称； 变形与位移正对称。,反对称荷载作用：取对称基
8、本结构,对称的未知量=0,对称结构反对称荷载作用， M图和FN图反对称， FQ图正对称； 变形与位移反对称。,例 6-5 求图示刚架的弯矩图。,M=0,基本体系,11X1+1P=0,讨论,弯矩零点在柱顶,弯矩零点在柱中点偏上,弯矩零点在柱中点。,刚架承受水平结点荷载的近似计算中，当k3时，即可按弯矩零点在柱中点进行计算反弯点法。,6-6 两铰拱计算,（1）取简支曲梁为基本体系,（2）列力法方程,（3）计算系数和自由项,1. 不带拉杆的两铰拱,11X1+1P=0,（5）内力计算,（4）求多余未知力，即水平推力FH,两铰拱的计算和受力特点： （1）从力法计算来看，两铰拱和两铰刚架基本相同，只是 1
9、1和 1P 按曲杆公式用积分计算，而不能采用图乘法。且在计算 11 时，除弯矩的影响外，有时还需考虑轴力的影响。 （2）从受力特性来看，两铰拱与三铰拱基本相同。内力计算公式在形式上与三铰拱完全相同，只是水平推力FH 有所不同。在三铰拱中，推力FH 是由平衡条件求得，在两铰拱中，推力FH 则由变形条件求得。,2. 带拉杆的两铰拱,（1）取基本体系,（2）列力法方程,（3）计算系数和自由项,11X1+1P=0,（4）求多余未知力，即拉杆的拉力为,（6）讨论： E1A1，同不带拉杆的两铰拱； E1A10，同简支曲梁。,（5）内力计算,（2）力法基本方程,例 6-6 求抛物线两铰拱的水平推力。,解,（
10、3）计算系数和自由项,（1）计算简化假设,忽略轴向变形； 近似取 ds=dx，cos=1,（4）求多余未知力,（5）内力计算,例 6-7 等截面抛物线两铰拱，求其FH和C处MC的影响线。,解：忽略轴向变形，近似地取 ds=dx,（1）作基本未知力FH的影响线。,（2）其它内力的影响线。,取对称的基本结构进行简化,利用刚臂进一部简化,目的：确定O点的位置，使 12=21=0,这样，力法方程可以简化为,6-7 无铰拱,在xy坐标系下,在 坐标系下,若12=21=0，则,弹性面积对x轴的面积矩,弹性中心法,令,弹性面积,则,d为弹性面积的形心弹性中心,弹性中心法计算系数和自由项的公式,例 6-8 试
11、求图示等截面圆弧在均布竖向荷载 q =10kN/m作用下的内力。设跨度 l =10m，矢高 f =5m。,解 （1）求圆拱的半径和半拱的圆心角,（2）确定弹性中心O的位置,（3）求系数11 和22,（4）求自由项1P 和2P,（5）内力计算,水平推力,拱顶弯矩,拱脚弯矩,（6）讨论 三铰拱推力,相对差值,例6-9 试求等截面圆拱在均匀水压力作用的内力。,解,不计轴向变形,取三铰拱为基本结构,因圆形是合理拱轴，故,若忽略轴向变形，则,内力与三铰拱完全相同,计轴向变形（采用弹性中心法）,（1）不计轴向变形时荷载引起的受力状态无弯矩状态。,可看作是由弹性中心处的多余未知力X1和X2引起的。,考虑轴向
12、变形时,（2）单纯由轴向变形引起的受力状态附加内力状态。,因此,h：拱截面的厚度,说明,（1）对超静定拱，忽略轴向变形时，内力为无弯矩状态； 考虑轴向变形，虽然出现弯矩，但数值不大。,（2）计算中将受力状态分成两部分，好处有： 计算简化； 借此可了解拱的受力状态； 能够更好地保证计算精度。,超静定结构有多余约束。因此，超静定结构在没有荷载作用时，只要有发生变形的因素，如支座移动、温度变化、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力，这种内力称为自内力。,例 6-13 求图示等截面梁自内力。,（2）列出力法方程,11X1+1c=-a,（1）选取基本体系,解,6-8 支座移动和温度变化时的计算,1.支座
13、移动时的计算,（3）计算系数和自由项,（4）求多余约束力,（5）作M图,（1）取基本体系,（2）列力法基本方程,（3）计算系数和自由项,（4）求多余约束力,（5）作M图,解法 2,解法 3,小结,（1）力法方程的右侧可不为零；,（2）力法方程的自由项是基本结构由支座位移产生的；,（3）内力全部是由多余约束引起的；,（4）内力与杆件的EI有关；,（1）取基本体系,（2）列力法基本方程,例 6-15 图示刚架,浇注混凝土时温度为15C，冬天混凝土外皮温度为-35C，内皮温度为15C。欲求此时由于温度变化在刚架中引起内力。各杆EI为常数，E=21010MPa，=0.00001。,解,2.温度变化时的
14、计算,（3）计算系数和自由项,（4）解方程,（5）作内力图,温度变化力法小结： （1）力法方程的形式与荷载作用时相同，但自由项不同。 （2）内力全部由多余未知力产生。 （3）温度变化引起的内力与杆件 EI成正比。 （4）弯矩图的纵坐标出现在降温面一侧。,例6-13 求无铰拱由于温度变化和混凝土收缩而产生的内力.,解:,拱的温度内力为,讨论,(1)计算结构表明,拱的推力、内力与刚度成正比;温度下降时，产生拉力，混凝土容易出现裂缝；,(2)材料收缩可按降温考虑。实际工程考虑到混凝土的徐变、分段施工等，一般对收缩按降温10-15计算；,只要多余约束力满足力法方程，则基本体系的受力与变形就与原结构完全相同。,求原结构位移的问题就归结为求基本体系（静定结构）的位移问题。,基本体系在荷载和多余约束力作用下的弯矩图与原结构相同，因此，只需将单位力加在基本结构作出单位弯矩图，再与原结构的弯矩图图乘即可。,6-9 超静定结构的位移计算,解法 1：,解法 2：,解法 3：,单位荷载法计算超静定结构位移的一般公式为：,只有荷载作用时，位移计算公式为：,只有支座位移作用时，位移计算公式为：,只有温度改变作用时，位移计算公式为：,例6-14 试求超静定梁由于支座位移引起的跨中挠度.,解,解,关于校核工作,6-10 超静定结构计算的校核,（1）要重视校核工作，培养校核习惯。未经校核的
