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1、2019/7/2,第七章 非线性系统分析,1,第七章 非线性系统分析,Nonlinear system analysis,Linear system,（6学时）,信息学院,二一三年十二月,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,2,什么是非线性系统？,按照组成系统元件的输入输出特性划分： 线性系统，非线性系统,在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线 性环节时，则称此系统为非线性系统。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,3,为什么要研究非线性系统的控制问题？,1、实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非 线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析 时所得出的结论，与实际系统
2、的控制效果不一致。线 性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。,2、非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。 有时在系统中适当加入某些非线性元件，利用非线性 特性可有效地改善系统的控制性能。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,4,常用的非线性系统分析设计方法,1、近似线性化法；2、描述函数法； 3、相平面法；仅限于二阶系统的图解分析方法。 4、李雅普诺夫稳定分析法。 5、微分几何法。 6、滑模控制方法。 7、反步法（Backstepping）。 . . .,非线性控制系统是当今最活跃的一个研究领域，但仍缺 少系统的和有效的处理方法,仍有很大的研究空间。,2019/7/2,第七章
3、 非线性系统分析,5,非线性系统动态过程的特点 非线性环节及其对系统结构的影响 非线性特性的描述函数 分析非线性系统的描述函数法 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用,主要内容,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,6,了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系统的本质区别； 了解典型非线性环节的特点； 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方法； 掌握分析非线性系统的近似方法描述函数法，能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。,学习重点,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,7,7.1 非线性系统动态过程的特点,非本质非线性-能够用小偏差线性化方法进行线性 化处理的非线
4、性。 本质非线性-用小偏差线性化方法不能解决的非 线性。,元件或传动机构的输入和输出之间不存在线性关系的， 称为非线性元件或非线性传动机构。,（2）非线性系统的分类,含有非线性元件的系统，称为非线性系统。,一、非线性系统的定义及种类,（1）非线性系统的定义,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,8,二、 几种典型的非线性特性,死区、饱和非线性,间隙非线性,继电器特性,非本质非线性,本质非线性,运放、铁芯线圈,齿轮减速器,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,9,三、非线性系统的特点,线性系统的稳定性只与系统的结构、参数闭环极点有关，而与系统的输入和初始状态无关。,1.稳定性,非线性系统
5、的稳定性与下述条件有关：,（1）与系统的结构、参数有关。,（2）与系统起始偏离的大小（即初始值）密切相关。,(3) 与系统的输入有关。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,10,例如由非线性方程：,设t=0时，系统初始状态为x0, 得： 积分得：,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,11,显然系统有两个平衡点，即x=0 和 x=1。,不同初始条件下非线性系统的响应曲线,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,12,结论：非线性系统的稳定性与初始值有关。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,13,因此，不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否，而必须明确是在什么条件、什么范围下的
6、稳定性。,当输入为1(t)时,X(t),X(t),结论：非线性系统稳定性还与输入的形式及 幅值有关。,当输入为0.11(t)时,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,14,2. 非线性系统的运动形式,（1）非线性系统不然，不满 足叠加原理。必须研究不同 输入所引起的输出响应。,线性系统运动形式与起始偏差及外作用大小无 关，满足叠加原理，只要研究典型输入的响应即可。,（2）非线性系统在小偏离时单 调变化，大偏离时很可能就出 现振荡。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,15,3.非线性系统的自振（自激振荡）,自振是没有外部周期运动信号作用，由系统内部产生的一种稳定的周期运动。,特点：（
7、1）不同于线性系统中的临界 稳定状态，在一定范围内 可长期存在，不会由参数 的变化而消失。,（2）而自振的振幅在起始偏离 变化范围很大时仍能维持 恒定。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,16,7.2 非线性环节及其对系统结构的影响,1. 不灵敏区（死区） 2. 饱和 3. 间隙 4. 摩擦 5. 继电器,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,17,表示输入 表示输出 表示不灵敏区， 也常称死区。,1.不灵敏区（死区）特性,存在不灵敏区的元件，在输入信号很小时是没有输出 的。如一些测量、变换部件和各种放大器。,2019/7/2,（1）系统可能有几个元部件都存在死区，则系统总 的死区
8、可以进行折算。,等效,x2,x1,x3,x4,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,19,第七章 非线性系统分析,19,折算到测量元件输入端总的死区应为:,前向通道中前面元件的死区影响最大，后面元件死区的影 响，可以通过加大前级增益来减小。,结论:,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,20,（2）死区特性等效于在系统中加入了一个变增益元件,等效增益,K1,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,21,(1)当系统前向通道中串有死区特性的元件时，最主要的影响是增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 (2)减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。 (3)由于死
9、区特性在小信号时的等效增益很低，故带死区的系统，一般在小起始偏离时总是稳定的。,不灵敏区（死区）特性对系统性能的影响,因为K降低，稳态误差增大,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,22,，等效增益为常值，即线性段。 ,输出饱和，等效增益随输入信号的加大逐渐减小。,2.饱和特性,线性区,在电子放大器中常见的一种非线性，如图所示,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,23,(1)饱和特性使系统开环增益下降，对动态响应 的平稳性有利，往往可促使系统稳定。 (2)如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同 时，将使系统的稳态跟踪精度有所下降。 (3)在实际系统中，可用主动设置饱和特性的办 法，来
10、限制执行元件和系统被控量的最大加 速度和最大速度，以保证机械结构的安全运 转。,饱和特性对系统性能的影响,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,24,3.回环（间隙）特性,表示输入 表示输出 b 表示间隙。,空程,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,25,(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。,回环（间隙）特性对系统性能的影响,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,26,4.摩擦特性,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,27,(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精度。 (2)在复现缓慢变化的低速指令时，会造成爬行现象
11、，大大影响系统的低速平稳性。,摩擦特性的影响,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,28,改善系统跟踪过程的平稳性，采取的措施：,采取良好的润滑或外加高频颤振信号的办法，以减小静、动摩擦力矩的差值。 采取按干扰补偿的办法，通过引入非线性校正来抵消摩擦力矩的影响。 采取增加系统阻尼的办法，以减小转速脉动，提高平稳性。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,29,4.继电器特性,(a)理想继电特性,(b)死区继电特性,(c)一般的继电特性,在使用继电特性时，有三种可供选择的形态，如图所示,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,30,理想继电特性,结论：（1）理想继电特性串入系统，在小起
12、始偏离时 开环增益大，系统运动状态一般呈发散性 质；而在大起始偏离时开环增益很小，系 统具有收敛性质。,（2）系统最终多半处于自振工作状态。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,31,描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。,分析非线性系统的两种常用工程方法：,相平面法（时域分析法，适用于二阶系统） 描述函数法 （谐波平衡法，频域分析方法）,描述函数法的特点,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,32,7.3 非线性特性的描述函数法,1. 基本概念 2. 谐波线性化 3. 非线性特性的描述函数 4. 典型
13、非线性特性的描述函数,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,33,2. 谐波线性化,描述函数是对非线性特性在正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之后得到的，它是非线性特性的近似描述。,理想继电器特性：,正弦输入信号：,以理想继电特性为例的谐波线性化,1. 描述函数的概念,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,34,同周期的非正弦函数,基波分量,高次谐波,展成傅立叶级数形式：,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,35,输出 展成傅立叶(Fourier)级数形式：,推论：, 方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加。 正弦分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，称为基波分量；而其它分
14、量的频率均为输入信号频率的奇数倍，统称为高次谐波。 每个分量的振幅也各不相同，频率愈高的分量，振幅愈小。,基波分量,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,36,将上述描述推广到一任意非线性系统，设输入 x(t)=Asint, 输出波形为y(t)，则可以将 y(t) 表示为傅氏级数形式,非线性系统的谐波线性化,积化和差得：,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,37,本章讨论的几种非线性特性均属于奇对称函数，,式中：,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,38,略去输出的高次谐波，以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出，亦即将输出表示为：, 一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是
15、一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。 这与线性元件正弦输入下的输出相似，上述方法称为谐波线性化的处理方法。 一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。,谐波线性化的处理方法是：,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,39,如果线性环节具有低通滤波的作用，则可以对 非线性环节进行谐波线性化处理。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,40,其数学表达式为:,3. 非线性特性的描述函数,（1）描述函数的定义：输入为正弦函数时，输出的基 波分量与输入正弦量的复数比。,线性系统频率特性的定义：,描述函数,非线性数学模型,2019/7/2,第七章 非线性
16、系统分析,41,（2）示例说明描述函数 N(A) 的含义：,已知非线性运算放大器输出输入特性为：,取其基波分量：因为奇对称函数,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,42,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,43,而,N(A)相当于非线性放大器对正弦输入而言的等效增益， 是 A 的函数。,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,44,（1）理想继电特性的描述函数,4. 典型非线性特性的描述函数,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,45, 单值奇对称，所以,理想继电器特性的描述函数,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,46,1、根据已知的输入输出特性曲线写出y(t)表达式。 2、计算 。 3、求描述函数,求描述函数的步骤：,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,47,（2）死区特性的描述函数,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,48, 单值奇对称，,2019/7/2,第七章 非线性系统分析,49,（3）饱和特性的描述函数
