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1、计算固体力学第二讲,研510 周二(4月14日)18:00-20:35,第三章：数值方法的基本理论,力学问题可表示成微分方程的边值问题。因此，力学问题的求解可参照微分方程的求解方法构造。根据问题的不同，可采用微分形式，也可采用积分形式。不同的描述方式，可构造不同的数值方法。 计算机最容易处理的是数值计算、求解代数方程。因此，根据弹性力学理论建立的控制微分方程组，需要离散化。所谓离散化是将一个函数用若干点的函数值近似表示。,离散化成为数值方法的关键,3.1 有限差分法（Finite Difference method）,1.差分格式： 有限差分方法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程的求解转化
2、为代数方程的求解，求得的是待求函数（定义在定义域的每一点）在离散的网格点上的值。 为了说明差分方法的思想，我们先回顾一下差分和微分。 考虑一个二维问题。假设： 是一物理问题的解，定义在一个矩形区域上,为了使用差分法，我们首先要把所关心的区域剖分为网格，对网格节点给以编号。对于图示的矩形区域，用等距的均匀网格是最容易的。 在这样的均匀网格下，可以得到下面的差分格式,在点附近沿x轴线上点的函数值 如果网格很细密， 很小 在节点1和3上： 分别为 和 即 ： 和 联立求解，可获得：,也就是说：如果已知各节点的函数值，则函数的微分可由节点函数表示出来。,同理，沿y方向取点，可得： 差分公式： 同理可得
3、到混合二阶偏导数：,同理，可获得更高阶的导数。 导数的阶次越高，涉及的周围节点数越多。 以上的格式是中心差分格式 向前差分 例如： 用 ， ， 表示： 向后差分： 不同的差分方式，对应不同的差分方法。,2. 稳定温度场的差分解,考虑一个正方形区域内的无源的平面稳定温度场，边界上给定温度分布为， 基本方程（Laplace方程）：,求区域内温度分布,以下以一个简单的问题说明差分方法的求解思路。,因此，在0点有： 在内部各节点均可以建立类似的方程。 从而构成一个由节点函数值组成的线性代数方程组。 在边界节点，则需要根据边界条件构造差分方程。 第一类边界条件： 如果边界为第一类边界，此时，各边界节点的
4、温度量给定。 边界条件可表示为： （ 表示已知的值）,举例：,重新排列,求解该方程组，即可得到各节点的温度值。,第二类边界条件（给定边界的热流量）的处理： 此时，0点的方程为：,边界方程,不同边界条件的处理,引入域外虚拟节点,消去域外虚拟节点,（已知的从边界流出的热流密度 当 时，即为边界绝热）,第三类边界条件（给定环境温度,环境和物体发生热交换） 修正的边界节点的差分方程： 当边界与y轴垂直时，也可得到类似的方程。,为已知的环境温度,或者,引入域外虚拟节点,消去域外虚拟节点,复杂区域形状（复杂边界）的处理,规则网格，麻烦的边界,边界描述很好，不规则网格,边界为曲线或斜线 此时会出现不规则的内
5、节点,由此可得：,类似的，对于（b）所示的情况：,A点需要满足的差分方程： 在A点展开,第二类边界条件：,则：,（补充方程）,2. 一维非定常热传导混合问题的差分解,特点: 1.知道时刻j的温度就可直接计算求得时刻j+1的温度 2. 当r1/2及满足相容性条件有条件的收敛和稳定.(r值可从系数阵的特征值确定,对r的限制影响到时间步长和空间步长的匹配关系,空间步长小时时间步长也要小),初始条件 边界条件,采用差分格式,j+1,j,k,k-1,k+1,2. 一维非定常热传导混合问题的差分解,采用差分格式,我们可以得到热传导方程的隐式差分格式,知道时刻j-1的温度为了计算时刻j的温度要解线性代数方程
6、组 一般来说是无条件稳定的,初始条件 边界条件,有限差分法的特点,有限差分法的基本概念非常简单。但实施会遇到困难： 均匀网格只适用于非常简单的矩形区域； 即使非常简单的矩形网格，第二、第三类边界条件也就需要引入虚拟域外节点。 复杂边界处理： 或是在边界上设置节点，导致复杂的边界差分格式； 或是在域内采用非均匀的格式，差分格式的自动生成非常困难； 可以想象三维问题的复杂,可以想象高价微分方程的复杂 一旦将系数矩阵输入计算机，线性方程组求解可以高度自动化，无须人为干预； 如何适应各种复杂边界形状、边界条件，在计算机上自动形成系数矩阵是差分法的瓶颈。 对于抛物型双曲型方程,显式格式有稳定性问题,时间
7、步长和空间格式需要协调;隐式格式虽然稳定,但效率往往很低.,课堂习题,对下列边值问题建立差分格式,不规则网格上的差分格式,插值和差分格式 插值和差分在某种意义上可看作函数关系描写的两种方法: 离散到连续之间的正映射和逆映射.,这一关系使我们可以采用插值的方法来建立差分格式 设想已知函数在(0，h)的值为(f0，f1)，则可以利用这两个点的值，插值得到一个线性函数：,这样,我们就得到了一阶导数的向前差分表达式。但是由这个线性函数,我们无法求得二阶导数的差分格式;,如果我们知道函数在三点的值：,插值和差分格式,利用这个办法我们可以也可以构造多元函数的偏导数的差分格式，但具体实施也许并不容易,格林公
8、式可以用来构造非规则网格上的差分格式,格林公式可以用来构造非规则网格上的差分格式,可以很容易求出,观察A12上,在A12内构造线性插值函数, 假定原点放在A,各点坐标为,由此,格林公式可以用来构造非规则网格上的差分格式,计算固体力学第三讲,研510 周二(4月21日)18:00-20:35,3.2 微分方程的等价积分形式,描述物理问题的三种数学工具： 。微分方程边值问题 相应的数值方法是差分方法 。能量原理（例如，最小总势能原理，最小余能原理） 相应的数值方法是有限元法 。微分方程的弱形式 相应的数值方法是加权残数法 和虚功原理可比较 系统如果没有能量也可使用,3.2 微分方程的等价积分形式,
9、两端简支梁，微分方程边值问题,最小总势能原理,显然，如果在区域上， 几乎处处为零，则对任意的 有,如果F(X)=0代表了微分方程，则上面两个定理或引理建立了在微分方程和其积分形式之间的联系,(一) 预备知识 (1),3.2 微分方程的等价积分形式,3.2 微分方程的等价积分形式,(2). 微分方程的算子形式 在域内： 边界上： 其中，A，B1，B2为微分算子,例：采用位移法表示的弹性力学微分方程,利用微分方程的算子形式，构造相应的积分形式 在域内，取任意函数 构造 同样，在边界上,即：,例：热传导问题,等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。 被积函数在区域上有有限个间断点，则可积。 降
10、低（*）连续性,取：,上式得到简化,。对于满足微分方程及其边界条件的解u,上式显然是成立的. 。如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程的解。,预备知识,(3)格林公式和高斯公式,同理，,微分方程的弱形式（采用分步积分，降低连续性） 热传导问题（2D）,（强形式）,利用格林公式,弹性力学问题,3.3 加权残数法（Weighted Residual Method）,加权残数法的基本思想是：构造包含参数的微分方程的近似解，将近似解代入微分方程和相应的边条件中，令得到的残差在适当加权后在微分方程定义域上的平均值为零，从而得到确定待求参数的代数方程式。,3.3 加权残数法（Weigh
11、ted Residual Method）,（放松条件）,考虑微分方程和边条件,选n个权函数Wj （j=1n）,此处，一个方程，n个未知数（C1Cn）,j=1n n个方程,求得C1Cn,内点法：选取的基函数 满足边界条件 边界法：选取的基函数 满足域内控制方程边界元法 1.子域法 子域上近似 2.配点法 当子域法中，令面积0，退化为配点法,强迫余量在n个子域 的积分为零,n个方程 求得C1Cn,取j个方程,取,3.最小二乘法（Least Square Method）,3.最小二乘法：,近似解构造方法 (通常取近似解为基函数的线性组合-基函数的选择方法),基函数系 选择原则 连续性 线性无关 正交
12、 完备,典型的基函数系 多项式 三角级数 梁振动振形 柱稳定函数 B-样条函数,作业：平面应力问题的解,提示：u,v用多项式做近似展开,作业解答,3.4 变分法与近似解法,变分法的重要性; 微积分 微分方程和变分原理 从微观到宏观,从宏观到微观的方法论 中国学者重大贡献:胡海昌广义变分原理 80年代多变量变分原理和有限元 大连理工大学在变分法方面的贡献 余能原理 极限分析与安定性分析的变分原理 参变量变分原理 广义变分原理和拟协调元 辛体系,一、基本概念 （1）函数，泛函,对于自变量,泛函-函数的函数 对于函数,二、泛函的极值问题及欧拉方程,找到: y=f(x) Min: s.t.,T可看作泛
13、函，泛函取极值得必要条件,令,计算,利用微分推导变分问题的欧拉方程,欧拉方程：,利用微分推导变分问题的欧拉方程,自然边条件,具有高阶导数的泛函的无约束变分问题,具有多个未知函数的变分问题,可以推出尤拉方程,如果对未知函数y(x)没有给定边界条件,则可推出它应满足的自然边界条件,多元函数的变分问题,由此推出尤拉方程,对w(x,y)取变分可得,具有等周条件的变分问题,考虑如下变分的极小化问题,受到对积分的约束,考虑最优解及相邻的两个解,具有等周条件的变分问题,由此可推出最优解满足的尤拉方程,受到由代数方程表达的逐点约束的变分问题,变分问题的形式为,我们可以构造 增广泛函,得到的尤拉方程为,受到由微
14、分方程表达的逐点约束的变分问题,变分问题的形式为,我们可以构造 增广泛函,得到的尤拉方程为,具有不等式约束的变分问题,考虑如下变分的极小化问题,受到对不等式形式的积分约束,可以引入未知的松弛因子将不等式约束化为等式约束,尤拉方程可以由,如何建立变分式: 从物理概念出发 从微分方程边值问题出发 如何由变分式推出尤拉方程 如何利用变分式得到物理问题近似解 瑞雷法,里兹法,伽略金法,有限元法,建立通过空间两点,长度最短的曲线应该满足的方程,并求解 建立最速降线的曲线满足的方程 在你学过的书上收集: 杆的变分原理 膜的变分原理 梁的变分原理 平面应力问题的变分原理, 圆板的变分原理 壳的变分原理 三维
15、弹性力学的变分原理,三、基于变分的近似方法,1.李兹法（Ritz Method）,Find：,Min：,S.t.：,2.伽辽金（Galerkin Method）,3.5 固体力学中的变分原理,在任意的虚位移上,内力虚功=外力虚功,满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称为许可位移,2.虚应力原理：,和外力(包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力；非真实的许可应力是虚应力,3. 最小总势能原理,满足位移边界条件和连续性条件的位移是许可位移； 一个只受到保守力作用的结构系统所有许可位移中，满足平衡方程的位移使得结构系统的总势能最小。 结构系统的总势能包括结构变形的应变能，作用在结构上的
16、外力势能。 受轴向荷载作用的线性弹簧,外力功等于应变能,3. 最小总势能原理,多自由度的线性弹簧系统,外力功等于应变能只给出一个方程,1,在满足位移边界条件的所有位移中，真实的位移使系统的总势能取驻值（极小值）。,对于线性问题：,对于断面积为A的直杆拉伸问题:,对于两端简支并受到均布荷载q(x)的梁的弯曲问题,梁的挠度为W(x),注意，应用最小总余能原理时要求许可应力状态满足和外力（包括给定的面力和体力）平衡； 最小总余能原理是在所有的许可应力状态中，真实应力状态使系统的总余能取最小值。,5.Hellinger-Reissener 变分原理：,5.Hellinger-Reissener 变分原理：,由此就可得到二类变量的广义变分原理（以应力和位
