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1、高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1(2017全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.2(2017全国)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da
2、，解得ab，e.故选A.3(2017全国)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10答案A解析因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.显然，该方程必有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|D
3、E|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.4(2017北京)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.5(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，显然，方程必有两个不等实根y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx
4、.题型一求圆锥曲线的标准方程例1 (2018佛山模拟)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.1 B.y21C.y21 D.y21答案A解析|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b，椭圆的方程为1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程跟踪训练1已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.y21 Dx21答案D解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2
5、b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21，故选D.题型二圆锥曲线的简单性质例2 (1)(2018届辽宁凌源二中联考)已知双曲线C：1(a0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y12 B4xy0C16x9y0 D4x3y0答案D解析由题意得c5，则a2c2169，即a3，所以双曲线的渐近线方程为yx，即4x3y0，故选D.(2)(2016天津)设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_答案解析由(p0
6、)消去t可得抛物线方程为y22px(p0)，F，又|CF|2|AF|且|CF|3p，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思维升华圆锥曲线的简单性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力跟踪训练2(2017全国)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 B. C. D.答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦
7、长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式，得，解得b23a2.所以C的离心率e2.故选A.题型三最值、范围问题例3 (2017浙江)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)由P(x，y)，即P(x，x2)设直线AP的斜率为k，则kx，因为x.所以直线AP斜率的取值范围为(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3，令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k
8、2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的简单性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围跟踪训练3(2016山东)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与
9、过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标(1)解由题意知，可得a24b2，因为抛物线E的焦点为F，所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)证明设P(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m2|MN|2，点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，2a4,2c2，b，点P的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(m,0)(2m0，得k2m29b29m2，又bmm，所以k2m2929m2，得k2k26k，所以k0.所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP.将点的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形
