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1、第二单元 数学思想方法 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想 方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理 和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思 想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想 一、函数与方程思想一、函数与方程思想 函数思想方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学 特征，用联系和变化的观点提出数学对象， 抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函 数关系，通过函数形式，利用函数的有关性 质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数， 根据题中的等
2、量关系，列方程(组)，通过解 方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题 的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进 行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系 已知数列an是各项均为正数的等差数列 (1)若 a12，且 a2，a3，a41 成等比数列，求数列an的通项公式 an； (2)在(1)的条件下，数列an的前 n 项和为 Sn，设 bn，若对 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n 任意的 nN*，不等式 bnk 恒成立，求实数 k 的最小值 【解】 (1)因为 a12，a a2(a41)， 2 3 又因为an是正项等差数列，
3、故 d0， 所以(22d)2(2d)(33d)，(列出方程) 解得 d2 或 d1(舍去)， 所以数列an的通项公式 an2n. (2)因为 Snn(n1)，bn 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n 1 n1n2 1 n2n3 1 2n2n1 1 n1 1 n2 1 n2 1 n3 1 2n 1 2n1 ， 1 n1 1 2n1 n 2n23n1 1 2n1 n3 令 f(x)2x (x1)，(构造函数) 1 x 则 f(x)2， 1 x2 当 x1 时，f(x)0 恒成立， 所以 f(x)在1，)上是增函数， 故当 x1 时，f(x)minf(1)3，即当 n1 时，(bn)max ， 1
4、6 要使对任意的正整数 n，不等式 bnk 恒成立，则须使 k(bn)max ， 1 6 所以实数 k 的最小值为 . 1 6 本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出 bn 的表达式，说明要求 bnk 恒成立时 k 的最小值，只需求 bn的最大值，从而构造函数 f(x) 2x (x1)，利用函数求解 1 x 1如图是函数 yAsin(x)(其中 A0，0，0 即 x(0,1时，f(x)ax33x10 可化为 a. 3 x2 1 x3 设 g(x)，则 g(x)， 3 x2 1 x3 312x x4 所以 g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此
5、g(x)maxg4， (0， 1 2 1 2，1 ( 1 2) 从而 a4； 当 x0 时，就化为不等式 f(x)0，借助 于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十 分重要 (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二 次函数有关理论 (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表 达式的方法加以解决 二、数形结合思想二、数形结合思想求解数学问题最快捷的途径求解数学问题最快捷的途径 以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)
6、借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关 系，把数转化为形，即以形作为手段，数作 为目的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明 形的某些属性，即以数作为手段，形作为目 的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变 抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x) f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A(，1)(0,1) B(1,0)(1，) C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)
7、【解析】 设 yg(x)(x0)，则 g(x)， fx x xfxfx x2 当 x0 时，xf(x)f(x)0 时，由 f(x)0，得 g(x)0，由图知 00，得 g(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A 【答案】 A 本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合 f(1)0 可作出函数的 图象，利用图象即可求出 x 的取值范围 3(2017南昌模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3,0)， 3 动点 D 满足|1，则|的取值范围是( ) CD OA OB OD A4,6 B1，1 1919 C2，2 D1，1 3777 解
8、析：设 D(x，y)，则由|1，C(3,0)，得(x3)2y21. CD 又(x1，y)， OA OB OD 3 |. OA OB OD x12y 32 |的几何意义是点 P(1，)与圆(x3)2y21 上点之间的距离，由 OA OB OD 3 |PC|知，|的最大值是 1，最小值是1.故选 D 7 OA OB OD 77 答案：D 4设 A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使 AB 成立的实数 m 的取值范围是_ 解析：集合 A 是一个圆 x2(y1)21 上的点的集合，集合 B 是一个不等式 xym0 表示的平面区域内的点的集合，要使 AB，则应使圆被平面区域所包含(
9、如图)， 如直线 xym0 应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有1，又 |m1| 2 m0，所以 m1，故 m 的取值范围是 m1. 22 答案： 21，) 运用数形结合思想分析解决问题的 3 原则 (1)等价性原则，在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题 将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质 只能是一种直观而浅显的说明 (2)双向性原则，在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索， 两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候 是很难行得通的 (3)简单性原则
10、，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方 法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单 三、分类与整合思想三、分类与整合思想求解数学问题最简便的技巧求解数学问题最简便的技巧 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过 对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等 于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性 问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合 设 F1，F2为椭圆1 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2 x2 9 y2 4 是
11、一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值 |PF1| |PF2| 【解】 若PF2F190. 则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 又|PF1|PF2|6，|F1F2|2， 5 解得|PF1|，|PF2| ， . 14 3 4 3 |PF1| |PF2| 7 2 若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2， |PF1|2(6|PF1|)220， |PF1|4，|PF2|2，2. |PF1| |PF2| 综上知， 或 2. |PF1| |PF2| 7 2 (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论 (2)涉及几何问题时，由于几
12、何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特 征进行分类讨论 5若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x21 的离心率是( ) y2 m A B 3 25 C或 D或 3 2 5 2 3 25 解析：因为 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m22816，所以 m4. 当 m4 时，圆锥曲线x21 是椭圆，其离心率 e ； y2 4 c a 3 2 当 m4 时，圆锥曲线 x21 是双曲线，其离心率 e . y2 4 c a 5 15 综上知，选项 D 正确 答案：D 6已知变量 x，y 满足的不等式组Error!Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则 实数 k
13、( ) A B 1 2 1 2 C0 D 或 0 1 2 解析：不等式组Error!Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组 Error!Error!表示的平面区域是直角三角形，只有当直线 ykx1 与直线 x0 或 y2x 垂直时才 满足 结合图形可知斜率 k 的值为 0 或 . 1 2 答案：D 7已知函数 f(x)xaln x(aR)，求函数 f(x)的极值 解：函数 f(x)的定义域为(0，)， 因为 f(x)1 (x0)， a x xa x 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值 当 a0 时，由 f(x)
14、0，解得 xa.因为当 x(0，a)时，f(x)0，所以 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上：当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a， 无极大值 分类与整合思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的定理、公式、性质是分类给出的， 在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等 (3)由数学运算和字母参数变化引起的分类如除法运算中除数不为零，偶次方根为非
15、负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数， 三角函数的定义域等 (4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所 在的象限；点、线、面的位置关系等 四、转化与化归思想四、转化与化归思想求解数学问题最普遍的方法求解数学问题最普遍的方法 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题， 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的 问题 过抛物线 yax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则
