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1、第六章 特征值与特征向量,向量的内积,方阵的特征值与特征向量,实对称矩阵的相似矩阵,相似矩阵,向量的内积,一、向量的内积与长度,定义1,设有n维向量,记,则x,y称为向量 x 与 y 的内积,注意,（1）按矩阵乘法有：,（2）内积就是几何向量的数量积之推广。,内积具有下列运算性质：,设x,y,z为n 维向量，,为实数，则有：,（对称性）,（线性性）,（正定性）,定义2,为 n 维向量 x 的长度,记,则称,称 x 为单位向量。,特别地，,设有 n 维向量,（或模，或范数）,例如 4维向量,的长度为：,为单位向量,而向量,向量的长度有下述性质：,1）非负性：,3）三角不等式：,2）齐次性：,另外
2、，由向量的内积、长度及其性质不难证明 下述施瓦茨不等式：,式中的等号仅当向量,线性相关时才成立。,定义3,则称为 n 维向量 x 与 y 的夹角。,由上述施瓦茨不等式易得：,于是有下面的定义：,二、两向量的夹角,记,例1 已知4维向量,求：向量,的夹角。,解,故所求向量的夹角为：,三、标准正交基,定义4,称向量 x 与 y 正交。,显然，零向量与任何向量正交。,定义5,一组两两正交的非零向量，叫正交向量组。,如上述例1中的向量,就正交。,线性无关。,定理1 如果 n 维向量,为正交向量组，,左乘上式两端，得,类似可证,证明,若向量空间 V 的一组基中向量两两正交，,定义6,则称这组基为向量空间
3、 V 的正交基。,特别地，由单位向量组成的正交基叫做标准正交基 （或规范正交基）,例如,是 空间的标准正交基。,一般地，向量空间的一个基不一定是规范正交基。,由向量空间 V 的一个基,，求其一个,规范正交基，就是要找一组两两正交的单位向量,上述问题称为把,这个基规范正交化。,具体操作方法如下：,如此归纳下去有：,把基 化成标准正交基的具体步骤：,四、施密特正交化方法,先正交化：,再标准化（单位化）：,是向量空间 V 的标准正交基。,例2 试把下列向量组化为标准正交向量组。,解 令,单位化得：,解,再把它们单位化，取,五、正交矩阵与正交变换,若 n 阶方阵A 是满足,则称 A 是正交矩阵。,定义7,故有：方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向 量组构成标准正交向量组,则上述结论对A的行向量组也成立。,例如,矩阵 P是正交矩阵,称为正交变换。,若 P 是正交矩阵，则线性变换 y=Px,定义8,内积,向量的长度,小 结,x,y=,向量正交,两向量的夹角,施密特正交化方法,证明对称矩阵A 为正交矩阵的充要条件是,证明 先证必要性,可知：,再证充分性,可知：,故 A 为正交矩阵。,练习,正交变换有何特性？,保持向量的长度不变。,
