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1、,习题课,一、与定积分概念有关的问题的解法,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第五章,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,不对 !,且,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,如, P270 题7,故没理由认为,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式,已知,利用夹逼准则可知,(1998考研),例2. 求,思考:,提示:由上题,故,练习: 1.,求极限,解：,原式,2. 求
2、极限,提示：,原式,左边,= 右边,例3.,估计下列积分值,解: 因为,即,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,例6.,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,解：方程两端对 x 求导, 得,令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,故,例7.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,注意 f (0) = 0, 得,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,
3、两边求导:,可见 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入 式比较同次幂系数 , 得,故,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确?,例9. 求,解: 令,则,原式,例10. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,例11. 设,解:,例12. 如图, 曲线 C 的方程为,解:,是它的一,个拐点,线, 其交点为(2,4),设函数f (x)具有三阶连续导数,计算定,积分
4、,直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切,(2005 考研),0,例13. 若,解: 令,试证 :,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,例15.,试证,使,分析:,即证,故作辅助函数,至少存在一点,即,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,提示: 设辅助函数,例15,例16.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内
5、可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(2003 考研),证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,例16 题,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,作业,P269 4 (1) , (2) ; 7 ; 8 (1) ; 10 (2) , (5) ,(9) ; 13,第四节,
