第五章D5_3换元法与分部积分法

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1、,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,

2、且,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解: (1) 记,并由此计算,则,即,(2),周期的周期函数,则有,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例5. 计算,解:,原式 =,例6. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 设,求,解:,(分部积分),作业,P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 7 (4), (9), (10),习题课,备用题,1. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,证：,2.,右端,试证,分部积分,再次分部积分,= 左端,