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1、- 1 -,第一节 定积分的概念,两个实例 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的性质,- 2 -,a,b,实例1 曲边梯形的面积,一 两个实例,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,a,b,a,b,- 3 -,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,4个分割点,7个分割点,13个分割点,25个分割点,49个分割点,- 4 -,曲边梯形如图所示，,- 5 -,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动，,且,- 6 -,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加
2、，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,- 7 -,二、定积分的定义,定义,作乘积,记,- 8 -,怎样的分法，,记为,积分上限,积分下限,- 9 -,注意：,即,定理1,定理2,- 10 -,例1 利用定义计算定积分,解,- 11 -,证明,利用对数的性质得,极限运算与指数运算换序得,- 12 -,故,- 13 -,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三 定积分的几何意义,几何意义：,- 14 -,规定,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且如果不作说明的话就不考虑积分上下限的大小,四 定积分的性质,性质1
3、,证,- 15 -,证,此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况,性质2,- 16 -,性质3,证,则,令,则有,- 17 -,推论,对任意的,都有,性质4,性质5,则,证,- 18 -,推论1,如果在区间,上,则,推论2,解,令,- 19 -,证,此性质可用于估计积分值的 大致范围.,性质6,估值定理,在区间,上的最大值及最小值，,则,- 20 -,解,- 21 -,解,- 22 -,如果函数,在闭区间,上连续，,性质7（定积分中值定理）,则在积分区间,上至少存在一个点,使得,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,- 23 -,即,积分中值公式的几何解释,- 24 -,解,由积分中值定理知有,使,- 25 -,- 26 -,
