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1、1,5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一、 定轴转动刚体的动能,z,O,的动能为,P,2,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。,刚体的总动能,3,二、力矩的功,O,根据功的定义,（力矩做功的微分形式）,对一有限过程,若 M = C,力的累积过程 力矩的空间累积效应。,. P,4,(2) 力矩的功就是力的功。,(3) 内力矩作功之和为零。,(1) 合力矩的功,讨论,(4) 力矩的功率,力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。,5,三、绕定轴刚体的动能定理,（合力矩功的效果）,元功,6,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量, 等于在该过程中作用
2、在刚体上所有外力矩所作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理。,即,7,讨论,(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。,(2) 刚体的内力做功之和为零；,(1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；,8,刚体重力势能,定轴转动刚体的机械能,质心的势能,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。,四、 刚体的机械能,9,例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。,解:,由动能定理,求: 它由此下摆 角时的 。,10,此题也可用机械能守恒定律方便求解。,而,11,例2 一个质量为M , 半径为 R 的定滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面
3、绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦。,O R,m,M,求: 物体 m 由静止下落高度 h 时的速度。,圆盘对中心轴的转动惯量,12,绳与圆盘间无相对滑动,v = R,利用刚体的动能定理, 得,圆盘受力矩 FTR 作用,解：,由质点的动能定理：,13,解法2. 根据机械能守恒定律,14,例3 如图所示, 一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的 a 处, 使棒偏转 30o, 已知棒长为 l , 质量为 M 。,解: 将子弹和棒看作一个系统, 在极短时间内系统角动量守恒。,求: 子弹的初速度 v 0 。,v0,m,M,15,子弹射入棒后,
4、以子弹、棒、地球为一系统, 机械能守恒。,初速度,16,例4 将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点,杆的质量 m 与单摆的摆锤相等。 开始时直杆自然下垂, 将摆锤拉到高度 h 0 , 令它自静止状态下落, 于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。,求:碰撞后直杆下端达 到的高度 h 。,17,解: 碰撞前单摆摆锤的速度为,碰撞后直杆的角速度为 , 摆锤的速度为v 。,由角动量守恒,在弹性碰撞过程中机械能守恒,18,联立二式,得：,按机械能守恒,碰撞后 摆锤达到的高度为,杆的质心达到的高度满足,得,19,5.4 动量矩和动量矩守恒定律,力矩的时间累积效应,力的时间累积效应,冲量、动量、动量定理。,冲量矩、动
5、量矩、动量矩定理。,20,动量矩的引入：,但是,在质点的匀速圆周运动中,动量 不守恒。,21,例子: 开普勒行星运动定律的面积定律:,实例都说明 是一个独立的物理量。,再考虑到行星的质量m为恒量，,行星在相等的时间内扫过相等的面积。,22,开普勒第二定律(面积定律):,行星在相等的时间内扫过相等的面积。,23,在描述行星的轨道运动, 自转运动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。 因此, 必须引入一个新的物理量 动量矩 L, 来描述这一现象。,卫星,24,一、动量矩,1. 质点的动量矩( 对O点 ),质量为 的质点以速度 在空间运动, 某时刻相对原点O的位矢为 , 质点相对于原点的
6、动量矩,大小：,方向: 符合右手螺旋法则。,25,讨论,(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢有关 (取决于固定点的选择) 。,(2) 在直角坐标系中的分量式,26,(3) 当质点作圆周运动时： 质点以角速度 作半径为r 的圆运动，相对圆心的动量矩的大小,(4) 动量矩的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。,27,2. 刚体绕定轴转动的动量矩,O,质点对 z 轴的动量矩,刚体上任一质量元对 z 轴的动量矩为,z,28,刚体上任一质量元对 z 轴的动量矩具有相同的方向。,(所有质元对 z 轴的角动量之和),说明,动量矩与质点动量 对比: Jz m， v 。,29,二、 质点的动量矩
7、定理和动量矩守恒定律,已知,1.质点的动量矩定理,30, 质点动量矩定理的微分形式。,作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。,质点动量矩定理的积分形式。,积分，得,冲量矩,31,质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量。,(2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。,说明,(1) 冲量矩是力矩的时间积累,是质点角动量变化的原因。,32,2. 质点动量矩守恒定律,质点动量矩定理, 质点动量矩守恒定律。,(1) 守恒条件,讨论,33,(3) 自然界普遍适用的一条基本规律。,(2) 向心力的角动量守恒。,(4) 质点对轴的角动量守恒定律: 若 Mz=0
8、, 则Lz =常数。即若力矩在某轴上的分量为零(或力对某轴的力矩为零)，则质点对该轴的角动量守恒。,34,求: 此时质点对三个参考点的动量矩的大小。,解:,例1一质点m,速度为 ,如图所示,A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 。,35,例2半径为R 的光滑圆环上A点有一质量为m 的小球, 从静止开始下滑, 若不计摩擦力。,解: 小球受重力矩作用, 由动量矩定理：,求: 小球到达B点时对O的动量矩和角速度。,A,B,R,O,36,即,积分,37,求: 发射角及着陆滑行时的速度v 多大？,例3 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M , 半径为 R 的行
9、星.当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一质量为 m 的仪器。 要使该仪器恰好掠过行星表面。,38,解:,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,39,三、 刚体绕定轴转动下的动量矩定理和 动量矩守恒定律,质点的动量矩定理,刚体内任一质量元所受力矩,刚体内所有质量元所受力矩,1. 动量矩定理,40,对定轴转动的刚体, Jz 为常量,刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。,而,或,41,刚体定轴转动中, 动量矩定理与转动定律的关系,刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。,42,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量。,刚
10、体定轴转动动量矩定理积分形式:,J 不变时,J 改变时,讨论,43,2. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,若,动量矩L不变的含义:,刚体: J 不变 , 则 不变。,非刚体:因 J 可变,则 J 乘积不变。,变形体绕某轴转动时, 若,则变形体对该轴的角动量,44,角动量守恒举例,花样滑冰、跳水、芭蕾舞等.,45,例1 一均质棒,长度为 L,质量为M,现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒,子弹的质量为 m ,速度为 v0 。,求: 子弹细棒共同的角速度 。,解:,其中,m,子弹、细棒系统的动量矩守恒,46,例2 由一长为L的均匀细杆, 可绕通过其中心点的轴在竖直平面内转动, 当
11、杆静止在水平位置时, 有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为L/4处, 并背离转轴爬向端点。,设小虫和细杆的质量均为 m。 问: 要使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大的速率爬向端点？,v0,m,p,O,47,解:小虫落在细杆上为完全非弹性碰撞, 且时间极短重力矩作用可以忽略, 碰撞前后系统动量矩守恒, 故有：,得杆的角速度为：,48,作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由角动量定理知,因为细杆和小虫绕轴的转动惯量为：,49,联立以上各式得到：,小虫的速率,50,例3 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度损失3/4, 已知棒长为 l, 质量为M 。,m
12、,M,解: 选取子弹和棒为系统, 其动量矩守恒,因为,求: 子弹穿出后棒的角速度 。,所以,51,例4 质量分别为 M1、M2 , 半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。原来它们沿同一转向分别以10 ,20 的角速度匀速转动, 然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示。 求: 最后在接触处无相对滑动时, 每个圆柱的角速度 1 和 2 。,52,二圆柱系统角动量守恒：,对上述问题有以下的解法: 在接触处无相对滑动时, 二圆柱边缘的线速度一样, 故有：,由以上二式就可解出1，2 。,其中,这种解法对吗?,53,原解认为系统的总动量矩为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的, 因为系统的总动量矩只能对某一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时1，2方向相反, 所以应为,(1),应对两圆柱分别使用动量矩定理, 由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, 力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:,54,(2),解(1)(2)式, 得:,
