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1、第四节 数 列 求 和,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)公式法求和: 使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法. (2)裂项相消法求和: 把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.,(3)错位相减法求和: (i)适用的数列:anbn,其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列. (ii)方法:设Sn=a1b1+a2b2+anbn(*), 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*), (*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就转化为根
2、据公式可求的和. 例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.,(4)倒序相加法求和: 如果一个数列an与_的两项的和等于首末两项之和,可把正着写与倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (5)分组求和法求和: 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化求和法,分别求和而后相加减.例如已知an=2n+(2n-1),求Sn.,首末两端等“距离”,(6)并项求和法求和: 把数列中的若干项结合到一起,形成一个新的可求和的数列,此时, 数列中的项可能_出现或呈现_.
3、形如an=(-1)nf(n) 类型,可采用两项合并求解.例如:Sn=1002-992+982-972+ 22-12=(1002-992)+(982-972)+(22-12)=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.,正、负相间,周期性,2.必备结论 教材提炼 记一记 常用求和公式:,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、迭代法、累加法及累乘法等. (2)数学思想:函数与方程、转化与化归、特殊与一般、分类讨论. (3)记忆口诀 数列求和比较难,错位相减巧转换, 取长补短高斯法,裂项求和公式算.,【小
4、题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n项和时使用公式 Sn= 较为合理.( ) (2)如果数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn= ( ),(3)当n2时, ( ) (4)求Sn=a+2a2+3a3+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( ) (5)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).( ),【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知. (2)正确.根据等比数列的求和公式可知. (3)错误.直接验证可知 (4)错误.含有字母的数列求和常需要分类讨
5、论，此题需要分a=0,a=1，以及a0且a1三种情况求和，只有当a0且a1时才能用错位相减法求和. (5)正确.根据周期性可得. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5P47T4改编)数列an中,an= ,若an的前n项和 为 ,则项数n为( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.2017,【解析】选B.因为an= 所以Sn=a1+a2+an= 而已知Sn= ,所以 解得n=2 015.,(2)(必修5 P61T4(3)改编)Sn= 等于( ),【解析】选B.方法一：Sn= -得， 方法二：取n=1,S1= ,代入各选项验证可知
6、选B.,(3)(教材必修5P61T5改编)一个球从100m高处自由落下,每次着地后又 跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是( ) A.100+200(1-2-9) B.100+100(1-2-9) C.200(1-2-9) D.100(1-2-9) 【解析】选A.第10次着地时,经过的路程为100+2(50+25+1002-9) =100+2100(2-1+2-2+2-9) =100+200 =100+200(1-2-9).,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=( ) A
7、.n(n+1) B.n(n-1) C. D.,【解题提示】利用a2,a4,a8成等比数列求得公差,然后利用等差数列求和公式求和. 【解析】选A.因为公差d=2,a2,a4,a8成等比数列,所以 =a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,所以a1=2. 所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).,(2)(2013大纲版全国卷)已知数列an满足3an+1+an=0,a2=- , 则an的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B. (1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10),【解析】选C.由3an+1+an=0，得 故数列an是公比q=
8、- 的等比数列. 又a2=- ，可得a1=4.所以S10= =3(1-3-10).,(3)(2015兰州模拟)数列 ，(2n-1)+ 的前n项和Sn的值等于( ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- 【解析】选A.该数列的通项公式为an=(2n-1)+ , 则Sn=1+3+5+(2n-1)+,(4)(2015桂林模拟)设Sn为数列an的前n项和,Sn=(-1)nan- , nN*,则a3= . 【解析】因为an=Sn-Sn-1=(-1)nan- -(-1)n-1an-1+ (n2), 所以an=(-1)nan-(-1)n-1an-1+ (n2). 当n为偶
9、数时,an-1=- , 当n为奇数时,2an+an-1= , 所以当n=4时,a3= 答案:,考点1 公式法求和 【典例1】(1)(2015潍坊模拟)若数列an为等比数列，且a1=1, q=2,则Tn= 的结果为( ),(2)(2014重庆高考)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和. 求an及Sn. 设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn. (本题源于教材人A必修5P40T1(1),【解题提示】(1)先利用等比数列的通项公式求出an,再求出 最后利用等比数列的前n项和公式求解. (2)直接根据等差、等比数
10、列的性质求解通项公式及其前n项和.,【规范解答】(1)选C.由已知得an=12n-1=2n-1, 设bn= 则bn=,(2)因为an是首项为1,公差为2的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1. 故Sn=1+3+(2n-1)=,由得a4=7,S4=16. 因为q2-(a4+1)q+S4=0. 即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b1=2,bn是公比为4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1. 从而bn的前n项和Tn=,【规律方法】几类可以使用公式求和的数列 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它
11、们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解.,【变式训练】(2015南宁模拟)等比数列an中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列an的通项公式. (2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.,【解析】(1)设an的公比为q, 由已知得16=2q3,解得q=2.所以an=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32, 设bn的公差为d,则有 所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)2=2n. 数列
12、bn的前n项和Sn=,【加固训练】数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t0,n=2,3,4,). (1)求证:数列an为等比数列. (2)设数列an的公比为f(t),作数列bn,使b1=1,bn=f（ ）(n=2,3,4,),求bn. (3)求Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)的值.,【解析】(1)因为 两式相减得3tan+1- (2t+3)an=0,又t0,所以 (n2), 当n=2时,3tS2-(2t+3)S1=3t,即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t, 所以数列an为首
13、项a1=1,公比q= 的等比数列.,(2)由已知得f(t)= 所以bn= 所以数列bn是以b1=1为首项,公差为d= 的等差数列,故bn= (3)Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=b2(b1-b3)+ b4(b3-b5)+b2n(b2n-1-b2n+1) =-2d(b2+b4+b2n),考点2 分组法求和 【典例2】(1)(2015临沂模拟)已知数列an的通项公式是an= 23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,则其前n项和Sn= . (2)(2014湖南高考)已知数列an的前n项和Sn= ,nN*. 求数列an
14、的通项公式. 设bn= +（-1）nan,求数列bn的前2n项和.,【解题提示】(1)由于存在(-1)n,因此应分n为奇数、偶数讨论,并分组求和. (2)利用an,Sn的关系求解;分组求和.,【规范解答】(1)Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n (ln2-ln3)+-1+2-3+(-1)nnln3, 所以当n为偶数时, Sn=2 ln3=3n+ ln3-1;,当n为奇数时, Sn=2 -(ln2-ln3)+( -n)ln3 =3n- ln3-ln2-1. 综上所述,Sn= 答案:,【规律方法】分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可
15、采用分组求和法求an的前n项和. (2)通项公式为an= 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.,【变式训练】(2015湖州模拟)在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满足b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列an与bn的通项公式. (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)设等比数列an的公比为q,等差数列bn的公差为d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, 所以d=2,所以an=3n,bn=2n+1.,(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+cn =-3+5+(-7)+9+(-1)n-1(2n-1)+(-1
