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1、第19讲 等腰三角形,1了解等腰三角形的概念、等腰三角形的性质定理；底边上的高、中线及顶角平分线重合 2掌握等腰三角形的判定定理，等边三角形的性质定理，以及等边三角形的判定定理 3掌握线段垂直平分线的性质及判定，角平分线的性质及判定 4能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题,1等腰三角形的概念、性质、判定，在选择题、填空题、解答题中均有出现 2等腰三角形、正三角形是最常见的图形之一，可单独成题，也常与平行四边形、圆、三角函数等渗透在综合题中 3主要体现数形结合、化归、分类的思想,1(2016枣庄)如图，在ABC中，ABAC，A30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D
2、，则D等于( ) A15 B17.5 C20 D22.5 【解析】在ABC中，ABAC，ABCACB75，所以ACE180ACB18075105，D180DBCBCD18037.5127.515，故选A.,A,3(2016泰安)如图，在PAB中，PAPB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AMBK，BNAK，若MKN44，求P的度数,等腰三角形的边、角,1(2017预测)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_ 【解析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，即可求得周长 因为224，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长为44
3、210.,10,2如图，在ABC中，ABAC，点D在BC上，且BDAD，DCAC.求B的度数 解析：第1题由于未说明两边哪个是腰，哪个是底，故需分两种情况讨论：(1)当等腰三角形的腰为2；(2)当等腰三角形的腰为4，从而得到其周长；第2题设B为x，分别表示出ADC，CAD，依据三角形内角和定理列出方程求解 解：ABAC，BC.同理：BBAD，CADCDA.设B为x，则Cx，BADx，ADC2x，CAD2x.在ADC中，CCADADC180，x2x2x180，x36，B36,1等腰三角形是两边相等的特殊三角形，以顶角平分线所在的直线为对称轴 2等腰三角形两_相等，简称为“等边对等角”,答案：2.
4、底角,3(原创题)如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是( ) A40 B70 C70或80 D80或140 【解析】点O是AB中点，连结DO.点D在量角器上对应的度数DOB2BCD，当射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，BCD40或70，点D在量角器上对应的度数DOB2BCD80或140，故选D.,D,4(2017预测)如图，ABC中，ABAC，BC12 cm，点D在AC上，DC4 cm，将线段DC沿BC方向平移7
5、 cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则EBF的周长是_ cm. 【解析】CD沿CB平移7 cm至EF，EFCD，CF7，BFBCCF5，EFCD4，EFBC，ABAC，BC，EBEF4，CEBFEBEFBF44513.,13,5已知等腰三角形的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是_ 【解析】等腰三角形周长为10，腰长为x，则2x5且2x10，即2.5x5.,2.5x5,1把“等边对等角”这一性质用在不同的等腰三角形中，必要时需利用方程思想转化为方程来解题 2. 等腰三角形中，边若没有指出是腰还是底边，应分情况讨论，但一定要利用“三边之间的关系”来检验解的合理性,等腰三角形的
6、性质与判定,6如图，在ABC中，ABAC，BDBC，等边BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE10，BC14，求PE的长 解析：利用等腰三角形的性质，有ADBC，在DPF中先求出PF的值 解：4,7如图，已知ABC90，D是直线AB上的点，ADBC. (1)如图1，过点A作AFAB，并截取AFBD，连结DC，DF，CF，判断CDF的形状并证明； (2)如图2，E是直线BC上一点，且CEBD，直线AE，CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由,解析：7(1)证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质，即可判断三角形的形状；(2)作AF
7、AB于A，使AFBD，连结DF，CF，利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得得出APD度数,1等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”) 2等腰三角形_、_和_互相重合(简称为“三线合一”),答案：2.底边上的高；顶角平分线；底边的中线,8(2016常州)如图，ABC中，ABAC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O. (1)求证：OBOC； (2)若ABC50，求BOC的度数,解：(1)ABAC，ABCACB，BD，CE是ABC的两条高线，ABCECB90，ACBDBC90，DBCECB，OBOC (2)ABC50，A
8、BAC，A18025080，BOC18080100,9如图，已知ABC为等腰直角三角形，BAC90，BE是ABC的平分线，DEBC，垂足为D. (1)写出图中所有的等腰三角形，不需证明； (2)请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由； (3)如果BC12，求ABAE的长,解：(1)ABD，EAD，CDE，ABC (2)BAEBDE，ABEDBE，BEBE，ABEDBE，ABDB，又ABEDBE，ADBE (3)CDEC45，CDDE，AEDEDC，ABAEBDDCBC12,1要证明一个三角形为等腰三角形，需证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，这样往往就转化为证明两个三角形全等 2等腰三角形
9、的底边上的中线、底边上的高、顶角平分线“三线合一”，这个性质应用广泛，在遇到等腰三角形的问题时，尝试作辅助线，一是可以把这些线段进行转化，二是构造了全等的三角形,等边三角形,10(2017预测)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连结BQ.若PA6，PB8，PC10，求四边形APBQ的面积 【解析】连结PQ，则可判断APQ为等边三角形，所以PQAP6，证明APCAQB得到PCQB10，说明PBQ为直角三角形后，利用S四边形APBQSBPQSAPQ求得结果,1等边三角形性质： (1)等边三角形三条边都_，三个内角都_，且每个内角都等于_； (2)等边三角
10、形有_条对称轴 2等边三角形的判定： (1)三边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形,答案：1.（1）相等；相等；60；（2）三条,11(2016青岛)如图，以边长为20 cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4 cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，求它的容积,等边三角形是一种特殊的等腰三角形，利用等边三角形的轴对称性，构造含有30的直角三角形，来计算解题,线段的垂直平分线,12(2017预测)如图，线
11、段AC的垂直平分线交线段AB于点D，A50，则BDC( ) A50 B100 C120 D130 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DADC，根据等腰三角形的性质得到DCAA，根据三角形的外角的性质计算即可 DE是线段AC的垂直平分线，DADC，DCAA50，BDCDCAA100，故选B.,B,1经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线) 2垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,13如图，在等腰ABC中，ABAC，DBC15，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则A的度数是_ 【解析】ADBA，又ABAC，ABCACB，A2(DBA
12、15)180，即3A30180，A50.,50,14直线CP是经过等腰直角三角形ABC的直角顶点C，并且在三角形的外侧所作的直线，点A关于直线CP的对称点为E，连结BE，CE，其中BE交直线CP于点F. (1)若PCA25，求CBF的度数； (2)连结AF，设AC与BE的交点为点M，请判断AFM的形状； (3)求证：EF2BF22BC 2.,解：(1)由题意可知直线CP是线段AE的中垂线，PCA25，PCE25，BCE140，CACB，CECB，CBF20 (2)AFM是直角三角形直线CP是线段AE的中垂线，FAFE，CECA，CFCF，ECFACF，CEMCAF，CEMCBM，CAFCBM.在AFM与BCM中，CAFCBM，AMFBMC，AFMBCM90，即AFM是以AM为斜边的直角三角形 (3)AFM是以AM为斜边的直角三角形，ABC是等腰直角三角形，AFBACB90，AF2BF2AB2，即EF2BF22BC2,根据垂直平分线的性质，点到线段两个端点的距离相等，就能转化为等腰三角形问题,
