《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系一 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系一 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【综合评价】 通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联 系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标 系下的方程也有不同形式.因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐 标系.本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容， 同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义. 【学习目标】 1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用. 2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中 刻画
2、点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的 方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程 刻画平面图形时选择适当坐标系的意义. 5.借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、 球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的 方法相比较，体会它们的区别. 1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换 1.1.1 直角坐标系 1.1.2 平面上的伸缩变换 1.直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立 联
3、系，从而实现数与形的结合. (2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方 程研究它的性质及与其他几何图形的关系. (3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方 程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数 运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标 伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换. (2)平面直角坐标系中坐标伸缩变换的坐标表达式为其中 a0，b0. Xax， Yby，) 【思维导图
4、】 【知能要点】 1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用. 2.了解建立坐标系的方法和原则. 3.坐标伸缩变换其中 a0，b0. Xax， Yby ) 知识点 1 平面直角坐标系 坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐 标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地 用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它 使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样 便可用抽象的代数方程将形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用 于几何学的研究. 建立数轴、直角坐标系或空间直角坐标系
5、，数形结合，我们可以解决许多数学问 题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决. 【例 1】 质点从原点出发沿数轴的正方向前进 4 个单位到达点 P1，然后反向走 了 1 个单位，到达点 P2，接下来每次反向并向前运动上次距离的 .求质点运动 n 1 4 次后到达的点 Pn的坐标. 解：设点 Pn的坐标为 xn. 则 xnx1( )x1( )2x1.( )n1x1 1 4 1 4 1 4 41( )( )2.( )n1 1 4 1 4 1 4 41( )n. 1（1 4）n 11 4 16 5 1 4 故 Pn的坐标为 xn1( )n. 16 5 1 4 【反思感悟】 直线坐标系(数轴)是一
6、维坐标系，其点的坐标是一个实数. 1.已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量( ) AC BC A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4) 答案：A 解析：法一：设出点 C 坐标，并利用(4，3)求出点 C 坐标，然后计算 AC 的坐标. BC 设 C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4， AC x4， y2，) BC 2)(3，2)(7，4).故选 A. 法二：利用求解. BC AC AB (4，3)(3，1)(7，4).故选 A. AB AC AB 【例 2】如图所示，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，|O1O2|4， 过动点 P 分别
7、作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN(M、N 分别为切 点)，使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的 2 轨迹方程. 解：以 O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，则 O1(2，0)，O2(2，0). 由已知|PM|PN|，得|PM|22|PN|2. 2 因为两圆的半径均为 1，所以|PO1|212(|PO2|21). 设 P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21， 即(x6)2y233， 所以所求轨迹方程为(x6)2y233(或 x2y212x30). 【反思感悟】 本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，
8、利用勾股定理、 两点间距离公式等知识，巧妙探求动点 P 满足的条件. 2.已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切 的条件，得 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|. |MA|MB|， |MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|2. 这表明动点 M 与两定点 C2、C1的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)，这
9、里 a1，c3，则 b28，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x21 (x 0， Yby，b 0，) 得 a2x2b2y21.与 4x29y236 比较， 将其变为x2y21，即 x2 y21，比较系数得 4 36 9 36 1 9 1 4 即将椭圆 4x29y236 上的所有点横坐标变为原来的 ，纵 a1 3， b1 2. ) X1 3x， Y1 2y，) 1 3 坐标变为原来的 ，可得到圆 X2Y21. 1 2 【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别 x，y 和 X，Y，比较公式中的系数即可. 6.在同一平面直角坐标系中，将曲线 x236y28x120 变成
10、曲线 X2Y24X30，求满足图象变化的伸缩变换. 解：x236y28x120 可化为 9y21. ( x4 2 )2 X2Y24X30 可化为 (X2)2Y21. 比较两式得 X2，Y3y.故所求伸缩变换为： x4 2 X1 2x， Y3y. ) 课堂小结 1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程； 2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算； 3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可. 随堂演练 1.已知一条长为 6 的线段两端点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动，点 M 在线段 AB 上， 且 AMMB12，求动点 M
11、的轨迹方程. 解：(代入法)设 A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)， |AB|6，a2b236. M 分的比为 . AB 1 2 x a1 2 0 11 2 2 3a， y 01 2b 11 2 1 3b ) a3 2x， b3y. ) 将式代入式，化简为1. x2 16 y2 4 2.已知 B 村位于 A 村的正西方向 1 公里处，原计划经过 B 村沿着北偏东 60的 方向埋设一条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米处，发现一古代文物遗址 W.根据初步 勘察的结果，文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问：埋设地下 管线 m 的计划需要修改吗？ 解：解决这
12、一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管线 m 的相 对位置，如图所示，以 A 为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方 向，建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1 000，0).由 W 位于 A 的西北方向 及|AW|400，得 W(200，200)，由直线 m 过 B 点且倾斜角为 9060 22 30，得直线 m 的方程是 xy1 0000. 3 于是，点 W 到直线 m 的距离为 |200 2 3200 21 000| 2 100(5)113.6100，所以，埋设地下管线 m 的计划可以不修改. 26 3.分别求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换. (1)曲
13、线 y2sin 3x 变换成曲线 y3sin 2x； (2)椭圆1 变换成圆 x2y29. x2 9 y2 4 解：(1)将变换后的曲线 y3sin 2x 改写成 y3sin 2x，设伸缩变换为 代入上式得 xx（ 0）， yy（ 0），) y3sin2(x)，即 ysin(2x)， 3 与曲线 y2sin 3x 比较系数，得解得 23， 3 2， ) 3 2， 3 2，) 所以伸缩变换为 x3 2x， y3 2y. ) (2)将变换后的圆 x2y29 改写成 x2y29，设伸缩变换为 代入上式，得 2x22y29，即1，与椭圆 xx（ 0）， yy（ 0），) x2 9 2 y2 9 2 1
14、 比较系数，得 x2 9 y2 4 9 29， 9 24. ) ，所以伸缩变换为 21， 29 4，) 1， 3 2 ) xx， y3 2y.) 基础达标 1.要得到函数 ysin的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象( ) (4x 3) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 12 12 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 3 3 答案：B 解析：根据三角函数图象的变换关系求解.由 ysinsin 4得，只 (4x 3) (x 12) 需将 ysin 4x 的图象向右平移个单位即可，故选 B. 12 2.向量 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a( ) A.1 B.0 C.1
15、D.2 答案：C 解析：法一：将(2ab)a 展开后再进行坐标运算.a(1，1)，b(1，2)， a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431. 法二：将 2ab 看做一个向量并求出其坐标后再与 a 计算数量积. a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，从而 (2ab)a(1，0)(1，1)1，故选 C. 3.在同一坐标系中，将曲线 y3sin 2x 变为曲线 Ysin X 的伸缩变换是( ) A. B. x2X， y1 3Y ) X2x， Y1 3y ) C. D. x2X， y3Y ) X2x， Y3y ) 答案：B 解析：设 代入第二个方程 Ysin X 得 bysin ax，即 y sin ax，比
