《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法学案 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法学案 理 北师大版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 考纲传真 (教师用书独具)1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项 公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 (对应学生用书第 79 页) 基础知识填充 1数列的概念 (1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这 个数列的项 (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N N(或它的有限 子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应 的一列函数值 (3)函数有三种表示示，它们分别是列表法、图像法和通项公式法 2数列的分类 分类原则
2、类型满足条件 有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限 递增数列an1an 递减数列an1an 按项与项间 的大小关系 分类常数列an1an 其中 nN N 有界数列存在正数M，使|an|M 按其他 标准分类摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相 应的函数解析式 (2)递推公式：如果已知数列an的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开 始的任一项an与它的前一项an
3、1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫作这个数列的递推公式 知识拓展 1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an， 则anError! 2在数列an中，项an最大，则Error! 若an最小，则Error! 3数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自 变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的( ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达
4、( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个( ) (5)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN N，都有an1Sn1Sn.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2已知数列an的通项公式为ann28n15，则 3( ) A不是数列an中的项 B只是数列an中的第 2 项 C只是数列an中的第 6 项 D是数列an中的第 2 项或第 6 项 D D 令an3，即n28n153，解得n2 或 6， 故 3 是数列an中的第 2 项或第 6 项 3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 A A 当n8 时，a8S8S7
5、827215. 4在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于( ) (1)n an1 AB 3 2 5 3 CD 8 5 2 3 D D a212，a31 ， (1)2 a1 (1)3 a2 1 2 a413，a51 . (1)4 a3 (1)5 a4 2 3 5(教材改编)数列 1，的一个通项公式an是_ 2 3 3 5 4 7 5 9 由已知得，数列可写成 ，故通项为. n 2n1 1 1 2 3 3 5 n 2n1 (对应学生用书第 80 页) 由数列的前几项归纳数列的通项公 式 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，； (2)，； 1 1 2 1 2 3 1 3
6、4 1 4 5 (3) ，2，8， ，； 1 2 9 2 25 2 (4)5,55,555,5 555，. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以an2n1. (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负， 偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n，nN N. 1 n(n1) (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观 察即 ， ， ，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为 1 2 4 2 9 2 16 2 25 2 an. n2 2 (4)将原数列改写为 9， 99， 999，易知数列 9,99,999，的通
7、项为 5 9 5 9 5 9 10n1，故所求的数列的一个通项公式为an (10n1) 5 9 规律方法 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： 1分式中分子、分母的特征. 2相邻项的变化特征. 3拆项后变化的部分和不变的部分的特征. 4各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想. 2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来.对于 正负符号变化，可用1n或1n1来调整，可代入验证归纳的正确性. 跟踪训练 (1)已知nN N，给出 4 个表达式： anError! an； 1(1)n 2 an； 1cos n 2 an.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0
8、,1，的通项公式的是( ) |sin n 2 | AB CD (2)数列an的前 4 项是 ，1， ， ，则这个数列的一个通项公式是 3 2 7 10 9 17 an_. (1)A A (2) (1)检验知都是所给数列的通项公式 2n1 n21 (2)数列an的前 4 项可变形为，故 2 11 121 2 21 221 2 31 321 2 41 421 an. 2n1 n21 由an与Sn的关系求通项an 已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式： (1)Sn2n23n； (2)Sn3nb. 解 (1)a1S1231， 当n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4
9、n5， 由于a1也适合此等式，an4n5. (2)a1S13b， 当n2 时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 当b1 时，a1适合此等式 当b1 时，a1不适合此等式 当b1 时，an23n1； 当b1 时，anError! 规律方法 已知Sn求an的三个步骤 1先利用a1S1求出a1. 2用n1 替换Sn中的n得出Sn1，利用anSnSn1n2便可求出当n2 时an 的表达式. 3看a1是否符合n2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果 不符合，则应写成分段函数的形式. 易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2 这一前提条件，易忽视验证n1 致
10、误. 跟踪训练 (1)(2017石家庄质检(二)已知数列an的前n项和为Sn，若 Sn2an4(nN N)，则an( ) 【导学号：79140166】 A2n1B2n C2n1D2n2 (2)(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则 Sn_. (1)A A (2) (1)由Sn2an4 可得Sn12an14(n2)，两式相减可得 1 n an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，则an42n12n1，故选 A (2)an1Sn1Sn，an1SnSn1， Sn1SnSnSn1. S
11、n0，1，即1. 1 Sn 1 Sn1 1 Sn1 1 Sn 又1，是首项为1，公差为1 的等差数列 1 S1 1 Sn 1(n1)(1)n，Sn . 1 Sn 1 n 由递推关系式求数列的通项公式 分别求出满足下列条件的数列的通项公式 (1)a12，an1an3n2(nN N)； (2)a11，anan1(n2，nN N)； n n1 (3)a11，an13an2(nN N) 解 (1)an1an3n2， anan13n1(n2)， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2) n(3n1) 2 当n1 时，a1 (311)2 符合公式， 1 2 ann2 . 3 2 n 2
12、 (2)当n2，nN N时， ana1 a2 a1 a3 a2 an an1 1 n， 2 1 3 2 n2 n3 n1 n2 n n1 当n1 时，也符合上式， 该数列的通项公式为ann. (3)an13an2，an113(an1)， 又a11，a112， 故数列an1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an123n1，因此an23n11. 规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 1已知a1，且anan1fn，可用“累加法”求an. 2已知a1a10，且fn，可用“累乘法”求an. an an1 3已知a1，且an1qanb，则an1kqank其中k可由待定系数法确定 ，可转化为ank为等比数列. 易错警示：本题1，2中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式. 跟踪训练 (1)在数列an中，a12，an1an，求an. 1 n(n1) 【导学号：79140167】 (2)在数列an中，a11，an12nan，求an. 解 (1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 ( 1 n1 1 n) 23 . ( 1 n2 1 n1) ( 1 2 1 3) (1 1 2) 1 n (2)由于2n， an1 an 故21，22，2n1， a2 a1 a3 a2 an an1 将这n1 个等式叠乘， 得212(n1)2，故an2. an a1
