《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 专题突破练4 立体几何中的高考热点问题 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 专题突破练4 立体几何中的高考热点问题 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题突破练专题突破练( (四四) ) 立体几何中的高考热点问题立体几何中的高考热点问题 (对应学生用书第 293 页) 1如图 7 所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90， 且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证： 图 7 (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF. 证明 (1)如图，建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4) 取AB中点为N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， (2,4,0)，(2,4
2、,0)，DENC. DE NC DE NC 又NC平面ABC，DE平面ABC. 故DE平面ABC. (2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0) B1F EF AF (2)22(2)(4)(2)0， B1F EF (2)222(4)00. B1F AF ，即B1FEF，B1FAF. B1F EF B1F AF 又AFFEF，B1F平面AEF. 2(2018贵州适应性考性)如图 8(1)，在等腰直角三角形ABC中，B90，将ABC 沿中位线DE翻折得到如图 8(2)所示的空间图形，使二面角ADEC的大小为 . (0 2) (1) (2) 图 8 (1)求证：平面ABD平面ABC； (2)
3、若，求直线AE与平面ABC夹角的正弦值. 3 解 (1)证明：在图(1)等腰直角三角形ABC中，ABBC， 而DE为该三角形的中位线， DEBC，DEAB. 由翻折可知DEAD，DEDB， 又ADDBD，DE平面ADB， BC平面ADB， 又BC平面ABC，平面ABD平面ABC. (2)由(1)可知，ADB为二面角ADEC的平面角， 即ADB. 3 又ADDB，ADB为等边三角形 如图，设O为DB的中点，连接OA，过O作OFBC交BC于点F， 则AOBD，OFBD. 又AOBC，BDBCB， AO平面BCED. 以O为坐标原点，OB，OF，OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标
4、系 设BD2，则A(0,0，)，B(1,0,0)，C(1,4,0)，E(1,2,0)， 3 (1,0，)，(1,4，)，(1,2，) AB 3 AC 3 AE 3 设n n(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则有Error!即Error! 令z1，则x，y0，则n n(，0,1)， 33 设AE与平面ABC的夹角为， 则 sin . |AE n n| |AE |n n| 6 4 3(2018北京海淀区期末练习)如图 9，在三棱锥PABC中，侧棱PA2，底面三角形 ABC为正三角形，边长为 2，顶点P在平面ABC上的射影为D，ADDB，DB1. 图 9 (1)求证：AC平面PDB； (2)求二
5、面角PABC的余弦值； (3)线段PC上是否存在点E使得PC平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在， CE CP 请说明理由 解 (1)证明：因为ADDB，且DB1，AB2， 所以AD，所以DBA60. 3 因为ABC为正三角形， 所以CAB60， 所以DBAC. 因为AC平面PDB，DB平面PDB， 所以AC平面PDB. (2)由点P在平面ABC上的射影为D可得PD平面ACBD，所以PDDA，PDDB. 如图，建立空间直角坐标系， 则由已知可知B(1,0,0)，A(0， ，0)，P(0,0,1)，C(2， ，0) 33 所以(1， ，0)，(1,0,1) BA 3 BP 平面ABC的一个法
6、向量n n(0,0,1)， 设m m(x，y，z)为平面PAB的法向量， 则由Error!可得Error! 令y1，则x，z， 33 所以平面PAB的一个法向量m m(，1，)， 33 所以 cosm m，n n， m mn n |m m|n n| 3 7 1 21 7 由图可知二面角PABC的平面角为钝角， 所以二面角PABC的余弦值为. 21 7 (3)由(2)可得(1，0)，(2， ，1)， AB 3 PC 3 因为10， PC AB 所以PC与AB不垂直， 所以在线段PC上不存在点E使得PC平面ABE. 4(2017全国卷)如图 10，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三
7、角形， ABDCBD，ABBD. 图 10 (1)证明：平面ACD平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， 求二面角DAEC的余弦值 解 (1)证明：由题设可得ABDCBD，从而ADCD. 又ACD是直角三角形， 所以ADC90. 取AC的中点O，连接DO，BO， 则DOAC，DOAO. 又因为ABC是正三角形，故BOAC， 所以DOB为二面角DACB的平面角 在 RtAOB中，BO2AO2AB2， 又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2， 故DOB90. 所以平面ACD平面ABC. (2)由题设及(1)知，OA，OB，OD
8、两两垂直， 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度， OA OA 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A(1,0,0)，B(0， ，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1) 3 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 ，从而E到平面ABC的距离为 1 2 D到平面ABC的距离的 ， 1 2 即E为DB的中点，得E， (0， 3 2 ，1 2) 故(1,0,1)，(2,0,0)，. AD AC AE (1， 3 2 ，1 2) 设n n(x，y，z)是平面DAE的法向量， 则Error!即Error! 可取n n. (1， 3 3 ，1) 设m m是平面AEC的法向量，则Error! 同理可取m m(0，1，)， 3 则 cosn n，m m. n nm m | |n n| | |m m| 7 7 所以二面角DAEC的余弦值为. 7 7
