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1、第二章第二章 平面向量平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽 快掌握. 一、向量a a、b b共线 例 1 如图，已知共线向量a a、b b，求作a ab b. (1)a a、b b同向； (2)a a、b b反向，且|a a|b b|； (3)a a、b b反向，且|a a|b b|. 作法 在与a a平行的同一条直线上作出三个向量a a，b b，a ab b，具体作法是：当 OA AB OB a a与b b方向相同时，a ab b与a a、b b的方向相同，长度为|a a|b b|；当a a与b b方向相反时， a
2、 ab b与a a、b b中长度长的向量方向相同，长度为|a a|b b|.为了直观，将三个向量中绝对 值最大的向量沿与a a垂直的方向稍加平移，然后分别标上a a，b b，a ab b.作图如下： 例 2 如图，已知共线向量a a、b b，求作a ab b. (1)a a、b b同向，且|a a|b b|； (2)a a、b b同向，且|a a|b b|； (3)a a、b b反向. 作法 在平面上任取一点O，作a a，b b，则a ab b.事实上a ab b可看作是a a(b b)， OA OB BA 按照这个理解和a ab b的作图方法不难作出a ab b，作图如下： 二、向量a a、
3、b b不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图. 例 3 如图，已知向量a a、b b. 求作：(1)a ab b；(2)a ab b. 作法 1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O. 第一步：作a a，方法是将一个三角板的直角边与a a重合，再将直尺一边与三角板的另一 OA 直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O，一直角边与直尺的一边重合的位置， 在此基础上取|a a|，并使与a a同向. OA OA 第二步：同第一步方法作出b b，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把 AB 作成与b b的方向相反.) A
4、B 第三步：作，即连接OB，在B处打上箭头，即为a ab b. OB OB 作图如下： (2)第一步：在平面上a a，b b位置之外任取一点O； 第二步：依照前面方法过O作a a，b b； OA OB 第三步：连接AB，在A处加上箭头，向量即为a ab b. BA 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连” ；向量减法作图的特点是“共起点，连 终点，箭头指被减”. 作法 2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A，以点A为起点作a a， AB b b，以AB，AD为邻边作ABCD，则a ab b，a ab b.作图如下： AD AC DB 点评 向量的平行四边形法则和三角法
5、则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边 形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握. 向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等” ，最忌讳的是 “作法不一” ，比如作法中要求的是作b b，可实际上作的是b b.只要作图的过程与作 AB AB 法的每一步相对应，一定能作出正确的图形. 2 向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实 施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简 例 1 化简下列各式： (1)(2)(2)； AB CD AC BD (2)3(2
6、a a8b b)6(4a a2b b). 1 24 解 (1)(2)(2) AB CD AC BD 2222 AB CD AC BD AB DC CA BD 2()()2. AB BD DC CA AD DA AD (2)3(2a a8b b)6(4a a2b b) 1 24 (6a a24b b24a a12b b)(18a a36b b) 1 24 1 24 a ab b. 3 4 3 2 点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形” ，通过作出向量，运用平行四边形 法则或三角形法则进行化简；二是基于“数” ，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相 减”的两个向量进行化简，解题时要注
7、意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法 则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a a，b b，c c等看 成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的 “同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数 例 2 如图，已知ABC和点M满足0 0，若存在实数m使得m成立， MA MB MC AB AC AM 则m_. 解析 如图，因为0 0， MA MB MC 即()， MA MB MC 即， AM MB MC 延长AM，交BC于D点， 所以D是BC边的中点，所以2， AM MD 所以，所以23， AD 3 2AM AB AC
8、 AD AM 所以m3. 答案 3 点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法 及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参 数的值. 三、表示向量 例 3 如图所示，在ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N， AD 2 3AB 设a a，b b，用向量a a，b b表示、 、 、 、. AB AC AE BC DE DN AM 解 因为DEBC， AD 2 3AB 所以b b，b ba a， AE 2 3AC 2 3 BC AC AB 由ADEABC，得 (b ba a)， DE 2 3BC 2
9、3 又M是ABC底边BC的中点，DEBC， 所以 (b ba a)， DN 1 2DE 1 3 a aa a (b ba a) (a ab b). AM AB BM 1 2BC 1 2 1 2 点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利 用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应 边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量. 3 平面向量的基本定理应用三技巧 技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e e1，e e2为基底，且 a ax1e e1y1e e2x2e e1y2e
10、e2，则用Error!来求解. 例 1 在OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|13，|14， OM OA ON OB 设线段AN与BM交于点P，记a a，b b，用a a，b b表示向量. OA OB OP 解 B，P，M共线， 存在常数s，使s， BP PM 则. OP 1 1sOB s 1sOM 即 OP 1 1sOB s 31sOA a ab b. s 31s 1 1s 同理，存在常数t，使t， AP PN 则a ab b. OP 1 1t t 41t a a，b b不共线，Error!， 解之得Error!，a ab b. OP 3 11 2 11 点评 这里选取，作为基底，构造
11、在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基 OA OB OP 底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解. 技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e e1，e e2为基底， a ax1e e1y1e e2，b bx2e e1y2e e2，且a ab b，则x1y2x2y10”来求解. 例 2 如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设a a，b b. OC 1 4OA OD 1 2OB OA OB (1)用a a、b b表示； OM (2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设 p，q，求证：1. OE OA OF OB 1 7p 3 7q (1)解
12、 设ma anb b，则 OM (m1)a anb b，a ab b. AM AD 1 2 点A、M、D共线，与共线， AM AD (m1)(1)n0，m2n1. 1 2 而(m )a anb b，a ab b. CM OM OC 1 4 CB 1 4 C、M、B共线，与共线， CM CB n(m )0.4mn1. 1 4 1 4 联立可得m ，n ， 1 7 3 7 a ab b. OM 1 7 3 7 (2)证明 ( p)a ab b，pa aqb b， EM 1 7 3 7 EF 与共线， EF EM ( p)q (p)0. 1 7 3 7 qpqp，即1. 1 7 3 7 1 7p 3
13、 7q 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方 程组求解. 技巧三 将题目中的已知条件转化成1e e12e e20 的形式(e e1，e e2不共线)，根据 120 来求解. 例 3 如图，已知P是ABC内一点，且满足条件230，设Q为CP的延长线与 AP BP CP AB的交点，令p p，试用向量p p表示. CP CQ 解 ， AP AQ QP BP BQ QP ()2()30， AQ QP BQ QP CP 3230， AQ QP BQ CP 又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ， AQ BQ CP QP 3230， BQ QP BQ Q
14、P (2)(33)0. BQ QP 而，为不共线向量，Error! BQ QP 2，1. CP QP PQ 故22p p. CQ CP PQ CP 点评 这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成 BQ QP 1e e12e e20 的形式来求解. 4 直线的方向向量和法向量的应用 直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必 修 2 和必修 4 先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方 向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析. 一、直线的方向向量 1.定义 设P1，P2是直线l：AxByC0 上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量 P1P2 都称为直线l的方向向量，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则的坐标为(x2x1
