《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.5 指数与指数函数 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.5 指数与指数函数 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 指数与指数函数指数与指数函数 最新考纲考情考向分析 1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数 幂的意义，掌握幂的运算 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指 数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 的指数函数的图象 1 2 1 3 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函 数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇 问题，题型一般为选择、填空题，中档难度. 1分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且 n1)于是，在条 m n a n am 件 a0，m，nN*，且 n1 下
2、，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂 的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 (a0，m，nN*，且 n1).0 的正 m n a 1 m n a 分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ. 2指数函数的图象与性质 yaxa100 时，y1；当 x0 时，01 (6)在(，)上是增函 数 (7)在(，)上是减函数 知识拓展 1指数函数图象的画法 画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. (1， 1 a) 2.指数函
3、数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间 的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 yax(a0，a1)的图象越高，底数越大 3指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与 0a1 来研究 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)()na(nN*)( ) n an n a (2)分数指数幂可以理解为 个 a 相乘( ) m n a m n (3)函数 y32x与 y2x1都不是指数函数( )
4、 (4)若 aman(a0，且 a1)，则 mn.( ) (5)函数 y2x在 R 上为单调减函数( ) 题组二 教材改编 2P59A 组 T4化简(x0，y0)_. 4 16x8y4 答案 2x2y 3P56 例 6若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过点 P，则 f(1)_. (2， 1 2) 答案 2 解析 由题意知 a2，所以 a， 1 2 2 2 所以 f(x) x，所以 f(1)1 . ( 2 2) ( 2 2)2 4P59A 组 T7已知 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是 1 3 3 ( ) 5 1 4 3 ( ) 5 3 4 3 ( ) 2 _ 答案 c 0，
5、 1 3 3 ( ) 5 1 4 3 ( ) 5 ( 3 5) 即 ab1， 又 c0)的值是_ a3 a5a4 答案 17 10 a 解析 . a3 a5a4 3 41 52 a aa 14 3 2 5 a 17 10 a 2计算：10(2)10_. 2 3 27 () 8 1 2 0.002 5 答案 167 9 解析 原式 2 1， ( 3 2) 1 2 500 10 52 52 52 1010201. 4 955 167 9 3(2017兰州模拟)化简：_.( a0) 41 232 3 33 3 22 53 3 33 82 () 42 aa bbaa a a aa baba 答案 a2
6、 解析 原式 1111121 33 3333332 1111111 22 3333352 ()(2) 2() ()(2)(2)() aababa a a aabbaa a2. 5 111 6 333 111 336 (2) 2 aa aab aba 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算， 还应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加； 运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 题型二题型二 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用 典例 (1)函数 f(
7、x)1e|x|的图象大致是( ) 答案 A 解析 f(x)1e|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，又 e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有 A. (2)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_ 答案 1,1 解析 曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知，如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点， 若不满足则排除 (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特 别地，当底数 a 与 1
8、的大小关系不确定时应注意分类讨论 跟踪训练 (1)已知实数 a，b 满足等式 2 018a2 019b，下列五个关系式： 03.又 a0)，则 yt22t 的单调增区间为1，)，令 2x1，得 x0，又 y2x 在 R 上单调递增， 所以函数 f(x)4x2x1的单调增区间是0，) 命题点 3 指数函数性质的综合应用 典例 已知函数 f(x). 2 43 1 ( ) 3 axx (1)若 a1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值 解 (1)当 a1 时，f(x)， 2 43 1 ( ) 3 xx 令 ux2
9、4x3(x2)27. 则 u 在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y u在 R 上单调递减，所 ( 1 3) 以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是 (2，)，单调递减区间是(，2) (2)令 h(x)ax24x3，y h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1， ( 1 3) 因此必有Error!Error!解得 a1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1. (3)由 f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R，则必有 a0. 思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，
10、最重要的是“同底”原则 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间， 最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断 跟踪训练 (1)已知函数 f(x)Error!Error!的值域是8,1，则实数 a 的取值范围是( ) A(，3 B3,0) C3，1 D3 答案 B 解析 当 0x4 时，f(x)8,1， 当 ax0 时，f(x)， ( 1 2)a，1) 8,1， 1 2a，1) 即81，即3a0， 1 2a 实数 a 的取值范围是3,0) (2)(2017江淮十校第三次联考)函数 f(x)x2bxc 满足 f(x1)f(1x)，且 f(0)3，则
11、 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( ) Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx) Cf(bx)f(cx) D与 x 有关，不确定 答案 A 解析 f(x1)f(1x)，f(x)关于 x1 对称， 易知 b2，c3， 当 x0 时，b0c01，f(bx)f(cx)， 当 x0 时，3x2x1，又 f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)0，a1)在区间上有最大值 3，最 2 2xx a 3 2，0 小值 ， 试求 a，b 的值 5 2 错解展示： 现场纠错 解 令 tx22x(x1)21， x，t1,0 3 2，0 若 a1，函数 f(t)at在1,0上为增函数， at，ba， 1
12、a，1 2 2xxb 1 a，b1 依题意得Error!Error!解得Error!Error! 若 01，b1，b0 C00 D01，a0，a1)满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( ) 1 9 A(，2 B2，) C2，) D(，2 答案 B 解析 由 f(1) 得 a2 ， 1 9 1 9 所以 a 或 a (舍去)，即 f(x) |2x4|. 1 3 1 3 ( 1 3) 由于 y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增， 所以 f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选 B. 7已知函数 f(x)ax(a0，且 a1)，且 f(2)f(3)，则 a 的取值
13、范围是_ 答案 (0,1) 解析 因为 f(x)ax x，且 f(2)f(3)， ( 1 a) 所以函数 f(x)在定义域上单调递增， 所以 1，解得 0 x4的解集为_ 2 2 2 xx( 1 2) 答案 (1,4) 解析 原不等式等价为2x4， 2 2 2 xx 又函数 y2x为增函数，x22xx4， 即 x23x40 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 _ 答案 ( 0，1 2) 解析 (数形结合法) 当 01 时，解得 01 矛盾 1 2 综上，a 的取值范围是. (0， 1 2) 10当 x2,2时，ax0，且 a1)，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (1，) (
14、2 2 ，1) 2 解析 当 x2,2时，ax0，且 a1)， 若 a1，yax是增函数，则有 a2或 a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24) (1)求 f(x)的表达式； (2)若不等式 xxm0 在(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围 ( 1 a) ( 1 b) 解 (1)因为 f(x)的图象过 A(1,6)，B(3,24)， 所以Error!Error! 所以 a24，又 a0，所以 a2，b3. 所以 f(x)32x. (2)由(1)知 a2，b3，则 x(，1时， xxm0 恒成立， ( 1 2) ( 1 3) 即 m xx在(，1上恒成立 ( 1 2) ( 1 3) 又因为 y x与 yx均为减函数，所以 yxx也是减函数，所以当 x1 时，y ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2) ( 1 3) xx有最小值 .所以 m .即 m 的取值范围是 . ( 1 2) ( 1 3) 5 6 5 6 (， 5 6 13已知 yf(x)是
