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1、课时分层训练课时分层训练( (五十七五十七) ) 定点、定值、范围、最值问题定点、定值、范围、最值问题 1(2017山西临汾一中月考)已知椭圆C：y21(a0)，过椭圆C的右顶点和上顶 x2 a2 点的直线与圆x2y2 相切 2 3 (1)求椭圆C的方程； (2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设 这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点 解 (1)直线过点(a,0)和(0,1)，直线的方程为xaya0，直线与圆 x2y2 相切，解得a22，椭圆C的方程为y21. 2 3 |a| 1a2 6 3 x2 2 (2)证明：当直线AB
2、的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由 k1k22 得2，解得x01.当直线AB的斜率存在时，设AB的 y01 x0 y01 x0 方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!(12k2)x24kmx2m220，得x1x2，x1x2，由 4km 12k2 2m22 12k2 k1k2222， y11 x1 y21 x2 (kx2m1)x1(kx1m1)x2 x1x2 即(22k)x1x2(m1)(x1x2)(22k)(2m22)(m1)(4km)，即(1k)(m21) km(m1)， 由m1，得(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)x
3、mm(x1) yx， 故直线AB过定点(1，1) 综上，直线AB过定点(1，1) 2(2018云南二检)已知点A，B是椭圆C：1(ab0)的左、右顶点，F为左焦 x2 a2 y2 b2 点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于 点M，直线MNBP于点N. (1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值； (2)若直线MN过焦点F，(R R)，求实数的值. AF FB 【导学号：79140311】 解 (1)证明：设P(x0，y0)(x0a)， 由已知A(a,0)，B(a,0)， kAPkBP. y0 x0a y0 x0a y2 0 x2 0a2 点P在椭圆上
4、，1. x2 0 a2 y2 0 b2 由得kAPkBP. y2 0 x2 0a2 b2 a2(xoal(2,0)a2) x2 0a2 b2 a2 直线AP与直线BP的斜率之积为定值. b2 a2 (2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(c,0)，直线AP的方程为 yk1(xa)， 直线l的方程为xa，则M(a,2ak1) MNBP，kMNk21. 由(1)知k1k2，kMNk1. b2 a2 a2 b2 又F，N，M三点共线，得kMFkMN， 即k1，得 2b2a(ac) 2ak1 ac a2 b2 b2a2c2， 2(a2c2)a2ac，化简整理得 2c2aca20， 即
5、2 10，解得 或 1(舍去) ( c a) 2 c a c a 1 2 c a a2c. 由，得(ac,0)(ac,0)， AF FB 将a2c代入，得(c,0)(3c,0)，即c3c， . 1 3 3(2018呼和浩特一调)已知抛物线C1的方程为y24x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦 点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点 (1)若，求直线l的方程； AM 1 2MB (2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点， 求椭圆C2的长轴长的最小值. 【导学号：79140312】 解 (1)当直线l的斜率不存在时，l
6、x轴，与已知矛盾，所以 AM MB AM 1 2MB 直线l的斜率必存在 设直线l的斜率为k(k0)， 则直线l的方程为yk(x4) 联立Error!消去x， 得ky24y16k0，所以1664k20. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 Error! 又因为， AM 1 2MB 所以(4x1，y1) (x24，y2)， 1 2 即y1y2. 1 2 由式消去y1，y2，得k22，即k或k， 22 故直线l的方程为yx4或yx4. 2222 (2)设P(m，n)，则OP的中点为. ( m 2， n 2) 因为O，P两点关于直线yk(x4)对称， 所以Error! 解得Error! 将其代
7、入抛物线方程，得4. ( 8k 1k2) 2 8k2 1k2 所以k21. 设椭圆的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 则a2b21，即b2a21. 联立Error!消去y， 得(b2a2k2)x28k2a2x16a2k2a2b20. 因为直线与椭圆有交点， 所以(8k2a2)24(b2a2k2)(16a2k2a2b2)0. 化简整理得4a2b2(b2a2k216k2) 4a2(a21)(2a217)0. 所以(a21)(2a217)0. 因为a2b211，所以 2a217. 所以 2a， 34 因此椭圆C2的长轴长的最小值为. 34 4(2016全国卷)已知椭圆E：1 的焦点在x轴
8、上，A是E的左顶点，斜率为 x2 t y2 3 k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA. (1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积； (2)当 2|AM|AN|时，求k的取值范围 解 设M(x1，y1)，则由题意知y10. (1)当t4 时，E的方程为1，A(2,0) x2 4 y2 3 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4 因此直线AM的方程为yx2. 将xy2 代入1 得 7y212y0. x2 4 y2 3 解得y0 或y，所以y1. 12 7 12 7 因此AMN的面积SAMN2 . 1 2 12 7 12 7 144 49 (2)由题意t3，k0，A
9、(，0) t 将直线AM的方程yk(x)代入1 得 t x2 t y2 3 (3tk2)x22tk2xt2k23t0. t 由x1()得x1， t t2k23t 3tk2 t(3tk2) 3tk2 故|AM|x1|. t1k2 6t(1k2) 3tk2 由题设，直线AN的方程为y (x)， 1 kt 故同理可得|AN|. 6k t(1k2) 3k2t 由 2|AM|AN|得， 2 3tk2 k 3k2t 即(k32)t3k(2k1) 当k时上式不成立，因此t. 3 2 3k(2k1) k32 t3 等价于0， k32k2k2 k32 (k2)(k21) k32 即0. k2 k32 由此得Error!或Error!解得k2. 3 2 因此k的取值范围是(，2) 3 2
