《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系三 第1课时 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系三 第1课时 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 柱坐标系和球坐标系 1.柱坐标系 定义：设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z).M 点在 xOy 坐标面上的投影点为 M0，M0点 xOy 平面上的极坐标为(，)，则三个有序数 ，z 构成的数组 (，z)称为空间中点 M 的柱坐标，限定 0，02，zR. 2.球坐标系 (1)定义：设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，点 M 在 xOy 坐标面上的投影 点为 M0，连接 OM 和 OM0，设 z 轴的正向与向量的夹角为 ，x 轴的正向与 OM 的夹角为 ，M 点到原点的距离为 ，则由三个数 ，构成的有序数组 OM0 (，)称为空间中点 M 的球坐标.限定 0，02，0.(
2、2)空 间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐 标(r，)之间的变换关系为. xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos ) 【思维导图】 【知能要点】 1.柱坐标系. 2.球坐标系. 3.空间点的坐标的确定. 知识点 1 柱坐标系 找空间中一点的极坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是 比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度. 空间任一点 P 的位置可以用有序数组(，z)表示，(，)是点 P 在 Oxy 平 面上的射影 Q 的极坐标，z 是 P 在空间直角坐标系中的竖坐标. 【例 1】 柱坐标满足方程 2 的点所构成的图形是什么？ 解：在平面极坐标系中，
3、2 表示以极点为圆心，2 为半径的圆.因此，在柱坐 标系中，设 Oz 轴所在的直线为 l，则方程2 表示以 l 为轴，且垂直于轴的截 面是半径为 2 的圆的柱面. 【反思感悟】 空间直角坐标与柱坐标的互化公式. 一般而言，若 M 是空间一点，Oxyz 是空间直角坐标系，M 是 M 向 xOy 平面作垂线的垂足，以 O 为极点，以 Ox 轴为极 轴，如图，则在 xOy 平面上 M的极坐标为(，)，而 M 点 在直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，则称(，z)为 M 点 的柱坐标，可得空间直角坐标与柱坐标的互化公式为 xcos ， ysin ， zz. ) 1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. P
4、，Q (2， 6 ，1) (4， 2 3，3) 解：直接代入互化公式， xcos ， ysin zz， ) 可得 P 的直角坐标为(，1，1)，Q 点的直角坐标为(2，2，3). 33 知识点 2 球坐标系 在球坐标系中用空间任意一点 P 到 O 的距离 r 以及两个角 ，来刻画点 P 的 位置. 【例 2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计 算出一个航天器在某一时刻离地面 2 384 千米的位置，地球半径为 6 371 千米， 此时经度为 80，纬度为 75.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点 P 的 坐标. 解：在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以 O
5、为端点且 与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此 基础上，取以 O 为端点且经过北极的射线 Oz(垂直于赤道平面) 为另一条极轴，建立如图所示一个球坐标系. 由已知航天器位于经度为 80，可知 80，由航天器位于纬度 75，可知， 907515，由航天器离地面 2 384 千米，地球半径为 6 371 千米， 可知 r2 3846 3718 755 千米. 故点 P 的球坐标为(8 755，15，80). 【反思感悟】 求空间任一点的球坐标，就是求该点到点 O 的距离和方位角、高 低角.两个角可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联系和区别. 2.如图所示，在棱长为 a 的
6、正方体 OABCDABC中，对 角线 OB与 BD相交于点 P，顶点 O 为坐标原点，OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的 正半轴上，试写出点 P 的球坐标. 解：|OP|a. 1 2|OA|2|OC|2|OD|2 3 2 xOM，tanDOB. 4 |DB| |DO|2 点 P 的球坐标为. ( 3 2 a，arctan 2， 4) 知识点 3 空间点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即确 定点的坐标需要确定点的(x，y，z). 2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即确 定点的坐标需要确定点的(，z). 3.(1)空间
7、点的球坐标是点和原点的连线与 x 轴正方向所成的角 ，与 z 轴的正方 向所成的角 ，以及点到原点的距离 r 组成的，即确定点的坐标需要确定点的 (r，). (2)注意球坐标的顺序为：到原点的距离 r；与 z 轴正方向所成的角 ；与 x 轴正方向所成的角 . 【例 3】 已知长方体 ABCD A1B1C1D1的边长 AB14，AD6，AA110，以 这个长方体的顶点 A 为坐标原点，以射线 AB、AD、AA1分别为 Ox、Oy、Oz 轴 的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1的空间直角坐标，球坐标， 柱坐标. 解：C1点的空间直角坐标为(14，6，10)， C1点的柱坐标为(2，ar
8、ctan ，10)， 58 3 7 C1点的球坐标为. (2 83，arccos 5 83 83 ，arctan 3 7) 【反思感悟】 注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱坐标的联系和区别，它 们都能刻画点的位置，并且可以进行互化. 3.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体)，图形中的黑点代表钠原子，其他点代表氯原子， 1 2 如图(2)所示，建立空间直角坐标系 Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球 坐标，柱坐标. 解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在 xOy 平面上，它们所在位置的
9、竖坐标全是 0，所以这五个钠原 子所在位置的球坐标分别为(0，0，0)， (1， 2 ，0) (2， 2 ， 4) (1， 2 ， 2) ，它们的柱坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)， ( 2 2 ， 2 ， 4) ( 2， 4 ，0) ，； (1， 2 ，0) ( 2 2 ， 4 ，0) 上层的钠原子所在的平面平行于 xOy 平面，与 z 轴交点的竖坐标为 1，所以，这 五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0，0)， ( 2， 4 ，0) ， ( 3，arctan 2， 4) ( 2， 4 ， 2) ( 6 2 ，arctan 2 2 ， 4) 它们的柱坐标分别为(0，0，1)，(1
10、，0，1)， ( 2， 4 ，1) (1， 2 ，1) . ( 2 2 ， 4 ，1) 中层的原子所在的平面平行于 xOy 平面，与 z 轴交点的竖坐标为 ， 1 2 所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为， ( 2 2 ， 4 ，0) ， ( 6 2 ，arccos 6 6 ，arctan 1 2) ， ( 6 2 ，arccos 6 6 ，arctan 2) ( 2 2 ， 4 ， 2) 它们的柱坐标分别为， ( 1 2，0， 1 2) ( 5 2 ，arctan 1 2， 1 2) ( 5 2 ，arctan 2，1 2) . ( 1 2， 2， 1 2) 课堂小结 1.根据图形的特征
11、，可以选择不同的坐标系来确定点的位置. 2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化. 3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时，对于含角度的坐标表示比较方 便. 随堂演练 1.一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次 记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心 O 的距离 为 500 m，每相邻两排的间距为 1 m，每层看台的高度为 0.7 m，现在需要确定 第九区第四排正中的位置 A，请建立适当的坐标系，求出点 A 的坐标. 解：以圆形体育场中心 O 为极点，选取以 O 为端点且过正东入口的射线 Ox 为 极轴，在地平面上建立极坐标系.则点 A
12、 与体育场中轴线 Oz 的距离为 503 m，极 轴 Ox 按逆时针方向旋转，就是 OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为 17 16 2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点 A 的准确位置.所以点 A 的柱坐标为 . (503， 17 16 ，2.8) 2.如图所示，请你说出点 M 的球坐标. 解：抓住球坐标定义，连接 OM，记|OM|R，OM 与 Oz 轴正 向所夹的角为 ，设 M 在 Oxy 平面上的射影为 Q，x 轴按逆时 针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 .这样点 M 的位置就 可以用有序数组(R，)表示.因此 M 点的球坐标为 (R，). 3.摊开世界地图，问初次降临
13、地球的外星人：台湾在哪里？阿根廷的 Formosa(福 尔摩沙)省又位于何处？外星人必然一头雾水，如果你再给他一组数据(如图所示)： 经度纬度 台湾东经 121北纬 25 Formosa西经 59南纬 25 我们相信，外星人可以找到这两个可爱的地方台湾与福尔摩沙.想一想，它 们的位置有什么关联？ 解：两地经度差 180，纬度相反.故它们位于地球同一直径的两个端点上. 基础达标 1.已知点 P 的柱坐标为，点 B 的球坐标为，则这两个点 ( 2， 4 ，5) ( 6， 3 ， 6) 在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2)
14、B.P 点(1，1，5)，B 点( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) C.P 点，B 点(1，1，5) ( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) D.P 点(1，1，5)，B 点( 6 2 ，3 6 4 ，3 2 4 ) 答案：B 解析：设 P 点的直角坐标为(x，y，z)， xcos 1，ysin 1，z5. 2 42 2 22 4 设 B 点的直角坐标为(x，y，z)， xsin cos ， 6 3 66 3 2 3 2 3 6 4 ysin sin ， 6 3 66 3 2 1 2 3 2 4 zcos . 6 36 1 2 6 2 所以，点 P 的直角坐标为(1，1，5)，点
15、B 的直角坐标为. ( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) 2.已知点 M 的球坐标为，则它的直角坐标为( ) (8， 3 ，5 6) A.(6，2，4) B.(6，2，4) 33 C.(6，2，4) D.(6，2，4) 33 答案：A 解析：由 x8sin cos 6，y8sin sin 2，z8cos 4，得点 M 的 3 5 6 3 5 63 3 直角坐标为(6，2，4). 3 3.设点 M 的直角坐标为(1，3)，则它的柱坐标是( ) 3 A. B. (2， 3 ，3) (2， 2 3 ，3) C. D. (2， 4 3 ，3) (2， 5 3 ，3) 答案：C 解析： 2， ，z3. （1）2（ 3）2 4 3 M 的柱坐标为. (2， 4 3，3) 4.设点 M 的柱坐标为，则点 M 的直角坐标为_. (2， 6 ，7) 答案：(，1，7) 3 解析：x2cos ，y2sin 1，M 点的直角坐标为(，1，7). 63 63 5.在球坐标系中，方程 r1 表示_，方程 表示空
