《2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二导学案新人教A版必修4_》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二导学案新人教A版必修4_(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.31.3 三角函数的诱导公式(二)三角函数的诱导公式(二) 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六,能作综合归纳,体会出六组公式的共性与个性,培养由特殊到一般的 数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生” “发现”过程,培养研究问题、发现问题、 解决问题的能力. 知识点一 诱导公式五 完成下表,并由此总结角,角的三角函数值间的关系. 2 (1)sin ,cos ,sincos; 6 1 2 3 1 2 6 3 (2)sin,cos,sincos; 4 2 2 4 2 2 4 4 (3)sin,cos,sincos. 3
2、3 2 6 3 2 3 6 由此可得 诱导公式五 sin() 2 =cos , cos() 2 =sin . 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关系? 2 答案 以代替公式五中的得到 sin cos(), ( 2) cos sin(). ( 2) 由此可得 诱导公式六 sin() 2 =cos , cos() 2 =sin . 知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin( )cos ,cos( )sin , 3 2 3 2 sin( )cos ,cos( )sin . 3 2 3 2 2.诱导公式记忆规律: 公式一四归纳:2k(kZ Z),的三角
3、函数值,等于角的同名三角函 数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名不变,符号看象 限”. 公式五六归纳:的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加 2 上一个把看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名改变,符号看象限”或“正变 余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ Z)”的诱导公式. 2 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇、偶”是指k(kZ Z)中k的奇偶性, 2 当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变.“符号”看的应该 是诱导公式中,把看成锐角时原函数值的符号,而不是函数值的符号. 类型一
4、利用诱导公式求值 例 1 (1)已知 cos() ,为第一象限角,求 cos的值. 1 2 ( 2 ) (2)已知 cos ,求 cossin的值. ( 6 ) 1 3 ( 5 6 ) ( 2 3 ) 解 (1)cos()cos , 1 2 cos ,又为第一象限角, 1 2 则 cossin ( 2 ) 1cos2 . 1(1 2)2 3 2 (2)cossin ( 5 6 ) ( 2 3 ) cossin ( 6 ) ( 3 ) cossin ( 6 ) ( 3 ) sin 1 3 2 ( 6 ) cos . 1 3 ( 6 ) 1 9 反思与感悟 对于这类问题,关键是要能发现它们的互余、
5、互补关系:如与 3 ,与,与等互余,与,与 6 3 6 4 4 3 2 3 4 等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题. 3 4 跟踪训练 1 已知 sin,求 cos的值. ( 6 ) 3 3 ( 3 ) 解 , 6 3 2 . 3 2 ( 6 ) coscos ( 3 ) 2 ( 6 ) sin. ( 6 ) 3 3 类型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例 2 求证:tan . tan2sin2cos6 sin(3 2 )cos( 3 2 ) 证明 左边 tansincos sin2( 2 )cos2( 2 ) tan sin cos sin( 2 )cos
6、( 2 ) sin2 sin( 2 )cos( 2 ) sin2 cos sin sin cos tan 右边. 原等式成立. 反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法: (1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简. (2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子. (3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,简言之, 即化异为同. 跟踪训练 2 求证: 2sin(3 2 )cos( 2)1 12sin2 . tan91 tan1 证明 因为左边 2sin(3 2 )sin 1 12sin2 2sin( 2 )sin
7、1 12sin2 2sin( 2 )sin 1 12sin2 2cos sin 1 cos2sin22sin2 . sin cos 2 sin2cos2 sin cos sin cos 右边. tan 1 tan 1 sin cos sin cos 所以左边右边,故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用 例 3 在ABC中,sinsin,试判断ABC的形状. ABC 2 ABC 2 解 ABC, ABC2C,ABC2B. sinsin, ABC 2 ABC 2 sinsin, 2C 2 2B 2 sin(C)sin(B), 2 2 即 cos Ccos B. 又B,C为ABC的内角,C
8、B, ABC为等腰三角形. 反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件,如在ABC中,ABC,结 ABC 2 2 合诱导公式得到以下的一些常用等式:sin(AB)sin C,cos(AB)cos C,sincos ,cossin . AB 2 C 2 AB 2 C 2 跟踪训练 3 在ABC中,给出下列四个式子: sin(AB)sin C; cos(AB)cos C; sin(2A2B)sin 2C; cos(2A2B)cos 2C. 其中为常数的是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 sin(AB)sin C2sin C; cos(AB)cos Ccos Ccos C0; sin(2A2
9、B)sin 2C sin2(AB)sin 2C sin2(C)sin 2C sin(22C)sin 2C sin 2Csin 2C0; cos(2A2B)cos 2C cos2(AB)cos 2C cos2(C)cos 2C cos(22C)cos 2C cos 2Ccos 2C2cos 2C. 故选 B. 类型四 诱导公式的综合应用 例 4 已知f(). sincossin 2 cossin (1)化简f(); (2)若角A是ABC的内角,且f(A) ,求 tan Asin A的值. 3 5 解 (1)f()cos . sin cos cos cos sin (2)因为f(A)cos A ,
10、 3 5 又A为ABC的内角, 所以由平方关系,得 sin A , 1cos2A 4 5 所以 tan A , sin A cos A 4 3 所以 tan Asin A . 4 3 4 5 8 15 反思与感悟 解决此类问题时,可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角统一后再用同角 三角函数关系式,这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 跟踪训练 4 已知 sin 是方程 5x27x60 的根,是第三象限角,求 tan2()的值. sin(3 2)cos( 3 2) cos( 2 )sin( 2 ) 解 方程 5x27x60 的两根为x1 ,x22, 3 5 由是第三象限角,得 sin ,则 c
11、os , 3 5 4 5 tan2() sin(3 2)cos( 3 2) cos( 2 )sin( 2 ) tan2 sin( 2 )cos( 2 ) sin cos tan2 cos sin sin cos tan2. sin2 cos2 9 16 1.已知 sin ,则 cos的值为( ) ( 6) 1 3 ( 3) A. B. 2 3 3 2 3 3 C. D. 1 3 1 3 答案 D 解析 coscos ( 3) 2 ( 6) sin . ( 6) 1 3 2.若 cos(2),则 sin()等于( ) 5 3 3 2 A. B. 5 3 2 3 C. D. 5 3 5 3 答案
12、A 解析 cos(2)cos()cos , 5 3 sin()cos . 3 2 5 3 3.已知 tan 2,则等于( ) sin 2 cos sin 2 sin A.2 B.2 C.0 D. 2 3 答案 B 解析 sin 2 cos sin 2 sin cos cos cos sin 2. 2 1tan 2 12 4.已知 cos2sin, ( 2 ) ( 2) 求的值. sin3cos 5cos(5 2 )3sin(7 2 ) 解 cos2sin, ( 2 ) ( 2) sin 2sin, ( 2 ) sin 2cos ,即 tan 2. sin3cos 5cos(5 2 )3sin(7 2 ) sin3cos 5cos(2 2 )3sin(4 2 ) sin3cos 5cos( 2 )3sin( 2 ) sin3cos 5sin 3cos sin2tan 1 5tan 3 2sin21 103 2sin21 7 2sin2sin2cos2 7sin2cos2 sin2cos2 7sin2cos2 tan21 7tan21 . 41 7 41 3 35 5.求证:tan . tan2cos3 2 cos6 sin3 2 cos