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1、1.31.3 三角函数的诱导公式（二）三角函数的诱导公式（二） 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的 数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生” “发现”过程，培养研究问题、发现问题、 解决问题的能力. 知识点一 诱导公式五 完成下表，并由此总结角，角的三角函数值间的关系. 2 (1)sin ，cos ，sincos； 6 1 2 3 1 2 6 3 (2)sin，cos，sincos； 4 2 2 4 2 2 4 4 (3)sin，cos，sincos. 3
2、3 2 6 3 2 3 6 由此可得 诱导公式五 sin() 2 =cos ， cos() 2 =sin . 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关系？ 2 答案 以代替公式五中的得到 sin cos()， ( 2) cos sin(). ( 2) 由此可得 诱导公式六 sin() 2 =cos ， cos() 2 =sin . 知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin( )cos ，cos( )sin ， 3 2 3 2 sin( )cos ，cos( )sin . 3 2 3 2 2.诱导公式记忆规律： 公式一四归纳：2k(kZ Z)，的三角
3、函数值，等于角的同名三角函 数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象 限”. 公式五六归纳：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加 2 上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变 余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ Z)”的诱导公式. 2 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k(kZ Z)中k的奇偶性， 2 当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该 是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是函数值的符号. 类型一
4、利用诱导公式求值 例 1 (1)已知 cos() ，为第一象限角，求 cos的值. 1 2 ( 2 ) (2)已知 cos ，求 cossin的值. ( 6 ) 1 3 ( 5 6 ) ( 2 3 ) 解 (1)cos()cos ， 1 2 cos ，又为第一象限角， 1 2 则 cossin ( 2 ) 1cos2 . 1(1 2)2 3 2 (2)cossin ( 5 6 ) ( 2 3 ) cossin ( 6 ) ( 3 ) cossin ( 6 ) ( 3 ) sin 1 3 2 ( 6 ) cos . 1 3 ( 6 ) 1 9 反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、
5、互补关系：如与 3 ，与，与等互余，与，与 6 3 6 4 4 3 2 3 4 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 3 4 跟踪训练 1 已知 sin，求 cos的值. ( 6 ) 3 3 ( 3 ) 解 ， 6 3 2 . 3 2 ( 6 ) coscos ( 3 ) 2 ( 6 ) sin. ( 6 ) 3 3 类型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例 2 求证：tan . tan2sin2cos6 sin(3 2 )cos( 3 2 ) 证明 左边 tansincos sin2( 2 )cos2( 2 ) tan sin cos sin( 2 )cos
6、( 2 ) sin2 sin( 2 )cos( 2 ) sin2 cos sin sin cos tan 右边. 原等式成立. 反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之， 即化异为同. 跟踪训练 2 求证： 2sin(3 2 )cos( 2)1 12sin2 . tan91 tan1 证明 因为左边 2sin(3 2 )sin 1 12sin2 2sin( 2 )sin
7、1 12sin2 2sin( 2 )sin 1 12sin2 2cos sin 1 cos2sin22sin2 . sin cos 2 sin2cos2 sin cos sin cos 右边. tan 1 tan 1 sin cos sin cos 所以左边右边，故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用 例 3 在ABC中，sinsin，试判断ABC的形状. ABC 2 ABC 2 解 ABC， ABC2C，ABC2B. sinsin， ABC 2 ABC 2 sinsin， 2C 2 2B 2 sin(C)sin(B)， 2 2 即 cos Ccos B. 又B，C为ABC的内角，C
8、B， ABC为等腰三角形. 反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在ABC中，ABC，结 ABC 2 2 合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos ，cossin . AB 2 C 2 AB 2 C 2 跟踪训练 3 在ABC中，给出下列四个式子： sin(AB)sin C； cos(AB)cos C； sin(2A2B)sin 2C； cos(2A2B)cos 2C. 其中为常数的是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 sin(AB)sin C2sin C； cos(AB)cos Ccos Ccos C0； sin(2A2
9、B)sin 2C sin2(AB)sin 2C sin2(C)sin 2C sin(22C)sin 2C sin 2Csin 2C0； cos(2A2B)cos 2C cos2(AB)cos 2C cos2(C)cos 2C cos(22C)cos 2C cos 2Ccos 2C2cos 2C. 故选 B. 类型四 诱导公式的综合应用 例 4 已知f(). sincossin 2 cossin (1)化简f()； (2)若角A是ABC的内角，且f(A) ，求 tan Asin A的值. 3 5 解 (1)f()cos . sin cos cos cos sin (2)因为f(A)cos A ，
10、 3 5 又A为ABC的内角， 所以由平方关系，得 sin A ， 1cos2A 4 5 所以 tan A ， sin A cos A 4 3 所以 tan Asin A . 4 3 4 5 8 15 反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 跟踪训练 4 已知 sin 是方程 5x27x60 的根，是第三象限角，求 tan2()的值. sin(3 2)cos( 3 2) cos( 2 )sin( 2 ) 解 方程 5x27x60 的两根为x1 ，x22， 3 5 由是第三象限角，得 sin ，则 c
11、os ， 3 5 4 5 tan2() sin(3 2)cos( 3 2) cos( 2 )sin( 2 ) tan2 sin( 2 )cos( 2 ) sin cos tan2 cos sin sin cos tan2. sin2 cos2 9 16 1.已知 sin ，则 cos的值为( ) ( 6) 1 3 ( 3) A. B. 2 3 3 2 3 3 C. D. 1 3 1 3 答案 D 解析 coscos ( 3) 2 ( 6) sin . ( 6) 1 3 2.若 cos(2)，则 sin()等于( ) 5 3 3 2 A. B. 5 3 2 3 C. D. 5 3 5 3 答案
12、A 解析 cos(2)cos()cos ， 5 3 sin()cos . 3 2 5 3 3.已知 tan 2，则等于( ) sin 2 cos sin 2 sin A.2 B.2 C.0 D. 2 3 答案 B 解析 sin 2 cos sin 2 sin cos cos cos sin 2. 2 1tan 2 12 4.已知 cos2sin， ( 2 ) ( 2) 求的值. sin3cos 5cos(5 2 )3sin(7 2 ) 解 cos2sin， ( 2 ) ( 2) sin 2sin， ( 2 ) sin 2cos ，即 tan 2. sin3cos 5cos(5 2 )3sin(7 2 ) sin3cos 5cos(2 2 )3sin(4 2 ) sin3cos 5cos( 2 )3sin( 2 ) sin3cos 5sin 3cos sin2tan 1 5tan 3 2sin21 103 2sin21 7 2sin2sin2cos2 7sin2cos2 sin2cos2 7sin2cos2 tan21 7tan21 . 41 7 41 3 35 5.求证：tan . tan2cos3 2 cos6 sin3 2 cos
