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1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3一、选择题（36分） 1给定公比为 q ( q 1)的等比数列 a n ，设 b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5 + a 6 , b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,，则数列 b n () ( A )是等差数列 ( B )是公比为 q 的等比数列 ( C )是公比为 q 3 的等比数列 ( D )既非等差数列也非等比数列 解析：(C).由题设，an=a1qn-1 ，则因此，bn是公比为q3的等比数列2平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x
2、|-1) 2 +(| y |-1) 2 2的整点( x , y )的个数是( ) ( A )16( B )17( C )18( D )25 解析：(A)由(|x|-1)2+(|y|-1)22d，这不可能；故P在双曲线的左支，则|PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d两式相加得2|PF2|=2a+2d又|PF2|=ed,从而ed=a+d故 .因此，P的横坐标为11已知直线中的 a , b , c 是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_. 解析： 43设倾斜角为，则tg=-0不妨设a0，则b0，恒成立，试
3、求的取值范围。 解析：若对一切x0，1，恒有 f(x)=x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin0，则cos=f(1)0,sin=f(0)0. (1)取 x0= (0，1)，则 由于 +2x(1-x)，所以，00 (2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sin0，f(1)=cos0，且x(0，1)时，f(x)2x(1-x)0先在0,2中解(1)与(2)：由cos0,sin0，可得00, , sin2, sin2,注意到 02，故有 2 ,所以， .因此，原题中的取值范围是 2k+2k+ ,kZ14.给定 A (-2,2)，已知 B 是椭圆上的动点， F 是左焦点，当| AB |+ |
4、 BF |取最小值时，求 B 的坐标。 解析：记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e则a=5,b=4,c=3,e=，左准线为x=-过点B作左准线x=-的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M由椭圆定义，|BN|=|BF| .于是， |AB|+|BF|=|AB|+|BN|AN|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(，2)所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(，2) 15. 给定正整数 n 和正数 M ，对于满足条件 M 的所有等差数列 a 1 , a 2 , a 3 ,.，试求 S = a n +1 + a n +2 + a 2 n +1 的最大值。 解析：设公差为d,an+1=,则S=an+1+an+2+a2n+1=(n+1)+d故 .则 因此 |S|(n+1)，且当 =,d= 时，S=(n+1)+ =(n+1) =(n+1)由于此时4=3nd,故 所以，S的最大值为(n+1)
