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1、传感器信息融合卡尔曼滤波器故障检测摘要：提出了一种传感器信息融合卡尔曼滤波器测试方法。测试方法基于一种规范化改进矩阵(normalized innovation matrix)谱模数学期望的统计量。这种方法可以实时进行改进序列(innovation sequence)数学期望和方差的同时测试，并且无需由于故障导致的统计特性改变值的相关信息。基于这种方法，提出了一种信息融合卡尔曼滤波器故障检测算法。关键词：故障检测；卡尔曼滤波器；分布算法；传感器融合；矩阵范数1.引言卡尔曼滤波器的有效性测试在许多关于导航和控制的问题中很有必要。基于此目的，已经出现了一些相关算法。在参考文献3（）中，提出了一种算
2、法，通过这种算法不仅可以实现故障定位和检测，并且可以进行准确估计。此外，目前提出的关于这类问题的算法还有很多，都可以用来进行不同故障信号的卡尔曼滤波故障检测。尽管有许多测试卡尔曼滤波的算法，但是传感器信息融合卡尔曼滤波多通道修正的监测追踪和诊断问题至今研究仍较少。在许多应用情况下，很可能需要去同时从多个信息源动态系统状态矢量上接收信息（比如一个综合导航系统）。综合导航系统在许多地方成功应用。在航空和海军导航系统，GPS，DGPS，GLONASS和INS系统中都是由卡尔曼滤波整合到不同的联合体中。联合卡尔曼滤波器和分布式卡尔曼滤波器可以实现不同导航系统的整合。这种滤波器就是多通道或者传感器信息融
3、合卡尔曼滤波器。系统参数和状态的多通道估计的算法已有人提出，这可以用来估计动态系统的数学模型，也可以估计一些测量通道的测量值。在这些卡尔曼滤波器中，可用数据的同时处理使得可能提高状态矢量的估计精度和数据处理的可靠性。但是，应用这些算法由于每一个估计的通道都需要一个故障检测器，因此大大增加了计算量。因此，需要一种多通道估计程序的测试的简单算法，使之能在不需要获得故障存在引起的参数变化信息的情况下能够进行滤波器的实时测试。本文提出了传感器信息融合卡尔曼滤波器的测试算法。通过引入卡尔曼滤波器的规范化改进矩阵谱模数学期望的统计量解决之前算法存在的问题。该方法可以实现数学期望和规范化改进序列方差的同时测
4、试。2.传感器信息融合卡尔曼滤波器测试的改进方法考虑一个线性动态系统，其状态方程为 （1）式中是系统的维状态向量，是维系统传递矩阵，是维随机矩阵，是的扰动（系统噪声）传递矩阵。是由一个包含个测量通道的多通道系统观测得到，第个通道的测量值方程： （2）式中是第i个测量通道测量值的N维测量向量，是系统第i个通道的维测量矩阵。第i个通道的测量噪声为一个均值为0的向量（a zero vector of means），其关联矩阵，各通道之间不相关。可以用传感器信息融合卡尔曼滤波器对系统状态向量进行估计，表达式为 （3）式中是估计值，是第i个通道的改进序列 （4）过滤误差的关联矩阵为 （5）估计误差的关联
5、矩阵计算式为 （6）（3）（6）式称之为并行（分布式）滤波器。其最佳估计由使用一般估计的所有通道的改进序列的实时权重总和求得。从（3）（6）式中可以看出，运用并行方法需要m个滤波器，对每个滤波器增加的矩阵、过滤误差的关联矩阵等等都要进行计算。对于（3）（6）式表征的传感器信息融合卡尔曼滤波器要正常工作，不同通道的规范化改进序列 （7）服从标准正态分布N（0，1）。故障会导致测量值产生突变，计算机故障，不规则测量，测量值统计特性变化或者客观噪声，卡尔曼滤波器的估计误差等等，都会引起序列初始特征的变化。因此，有必要提出一种规范化改进序列数学期望和方差的实时检测方法。为此，提出两个假设：卡尔曼滤波器
6、正常工作，系统中出现一个故障。下面给出定义：定义：定义一个m通道卡尔曼滤波器的规范化改进矩阵为一个矩阵(n是改进向量维数，n2,m2)，其中列是同一时刻不同通道的规范化改进向量，形式为 （8）检验假设和，要用到服从Wishart（威沙特）分布的矩阵，（假定X是一个的矩阵，他的每一列由均值为零的p维多变量正态分布独立得到，令，则S服从Wishart分布，开方分布是Wishart分布在P=1是的特殊情况）。威沙特分布矩阵的特征值及最大和最小特征值有一些独特的结论。但是，因为要确定随机矩阵特征值的置信区间比较困难，导致利用这种方法进行多维动力系统故障检测非常复杂。本文使用矩阵A(x)的谱模来检验假设
7、和。A(x)的谱模通过下式算得 （9）式中是矩阵的特征值。称为矩阵的奇异（singular）值，因此的谱模就等于他的最大奇异值。奇异数是实数并且非负。可以看出，相对要得到一个任意矩阵的特征值，奇异数确定后，根据特征值计算谱模比较简单。这就是选择卡尔曼规范化改进矩阵谱模作为一个检验的尺度方法的原因。为了检验假设和，引入矩阵的谱模的数学期望的一个一维统计量，对于k值很大时，利用算术平方来表示数学期望的估计： （10）Hansen已经发现了由具有数学期望为0和标准差为的正态分布任意值构成的随机矩阵谱模的数学期望的许多界限（）。这里，假设和表示矩阵A的行和列元素，引入最大行列范数 （11）式中分别是行
8、和列元素对应的欧几里德向量范数。从文献26可知有下列不等式 （12）上式中较难确定，为此使用其下限值来代替。 （13）式（12）可写为 （14）上式中是未知函数。从26的数值计算仿真中可以看出是足够小的一个下限。从数值计算中也可以看出函数f在时其值接近2，并且一般f的取值在1和2之间。因此用2作为函数f的一个取值。由前述一系列叙述可下列关于的简便不等式： （15）式（15）表征出随机矩阵A的元素的标准差和其谱模之间的关系。考虑到规范化改进矩阵A(x)已被用来检测含有服从正态分布随机量的传感器信息融合卡尔曼滤波器故障，因此在本文中式（15）可以用来解决故障诊断问题。如果卡尔曼滤波器的规范化改进矩
9、阵A(x)服从N(0,1)分布，不等式（15）必定成立。如果0是的有偏估计，或者单位方差改变，或者与白噪声不同，都可能导致式(15)不成立。在满足的不等式(15)前提下，可以进行传感器信息融合卡尔曼滤波器的测试。此时，表达式(10)可以简化为 （16）因此要根据式（3）（6）进行传感器信息融合卡尔曼滤波器测试，下列假设的决策规则必须满足： （17）m通道规范化改进矩阵谱模的数学期望界限确定比较简单，并且可以实现所有通道改进序列数学期望和方差的实时校验。以上实现传感器信息融合卡尔曼滤波器故障检测算法流程可以总结为：（1）利用式（3）（6）和（7）计算系统状态向量的多通道卡尔曼估计和在步长k时不同
10、通道的规范化改进序列的向量值。（2）根据（8）构造m通道分布式传感器信息融合卡尔曼滤波器的规范化改进矩阵。（n2,m2）（3）确定矩阵的特征值和矩阵的谱模。（4）利用式（10）计算谱模的算术平均的统计量。（5）检查是否满足不等式（16），并根据决策规则（17）判断传感器信息融合卡尔曼滤波器是否处于正常状态。（6）从k+1时刻开始重复上述步骤。3. 仿真结果考虑一个2维双通道动态系统，其第i个通道的测量值状态方程： （18）系统参数如下：，至此，可以根据前述公式计算相关测量值，然后就可以得到规范化改进矩阵的双通道卡尔曼滤波器：，利用式(9)和(10)可以求得改进矩阵的谱模和数学期望。在n=2,m
11、=2(m是通道数)情况下，决策规则为： （19）图1-6是仿真的结果。图1是的容许范围和它在所有滤波通道正常工作的变化曲线图。图2（a）和（b）是对应的规范化改进序列。为了验证所提算法的有效性，从步开始，仿真了第二个测量通道的第一个测量传感器存在一个故障的情况，引入一个常数偏差： （20）从式（20）可以看出，通过给测量噪声加3来给第二个测量通道的第一个测量传感器加入一个常值偏差。图3和图4是该情况下的仿真结果。图3结果可以看出从第20步开始，统计量的值陡增，并在步时越过了容许的上限。这就证实了在双通道传感器信息融合卡尔曼滤波器实现了故障检测。在第2个通道有偏差影响下规范化改进矩阵的变化情况如
12、图4（a），（b）所示。仿真结果得到当测试规范化改进序列平均值时，检测最小故障率是测量值的4%，检测时间为4s。为了了解利用该算法检验规范化改进序列方差的可能性，将式（20）中加3改为给乘以3，形式如下： （21）结果如图5和图6（a）（b）所示.。图5可以看出统计量的值从第20步开始陡增，并在时超越了容许上限。利用决策规则（19）可以看出双通道传感器信息融合卡尔曼滤波器可以检测。规范化改进序列的变化情况如图6（a）（b）所示。上述仿真结果显示这种情况下，当测试规范化改进序列时，探测的最小故障率是测量噪声的标准差的30%。对应的探测时间是1.6s。4.结论提出了利用规范化改进矩阵谱模的数学期望的统计量来进行传感器信息融合卡尔曼滤波器测试的方法。该方法可以实现改进序列数学期望和方差的实时校验，并且无需知道股最后那个影响下统计特性的变化。找到了统计量的上下限。它们由测量向量的维数和滤波通道的数目决定。传感器信息融合卡尔曼滤波器测试算法可以估计通道数目的变化，并可以实时进行故障探测。该算法可以用在当不同通道改进向量的维数不等的情况下。在这种情况下，具有维数小于n（n为使用的改进向量的最大维数）的规范化改进向量，当构成m通道并行（分布式）传感器信息融合卡尔曼滤波器的（）规范化改进矩阵时，其元素应该完全是服从分布的随机数。
