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1、三角形中的数列问题（研究性学习） 一、范例研究：设在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，范例1：已知a，b，c成等差数列（1）证明： ；（2）证明： ；（3）求角B的范围.范例2：已知a，b，c成等比数列（1）证明：cos（AC）cosBcos2B1；（2）证明： ；（3）求角B的范围.1、探索：运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸.（1）第一次探索a，b，c成等差数列 注：范例1（3）求角B的范围请同学们自己思考（2）第二次探索a，b，c成等比数列 (第一阶段的转化与延伸) （第二阶段转化与延伸的开始） （第二阶段的转化与延伸） 注：范例2的（2）、（3）小问请同学们练习2、小
2、结小结1：在ABC中，若a，b，c成等差数列，则有（1）2bac；（2） ；（3） .小结2：在ABC中，若a，b，c成等比数列，则有（1） ；（2） ；（3） .二、联想联想是探索的先驱，人们在学习与研究中，总是在实践中获取真知，在认知中产生联想，进而由联想引发新的探索，由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差，他们的性质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到，上面已经认知的等差（或等比）数列条件下的三角等式两边，在等比（或等差）数列的条件下会是何种关系呢？循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系，我们可以断言：一般情况下，等差（或等比）数列条件下的三角“
3、等式”两边，在等比（或等差）数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是，如此变更条件之后，上述等式两边是否具有确定的大小关系？上述不等式两边，是否具有相等关系？注意到等差数列与等比数列的密切联系，我们由等差（比）数列的命题联想等比（差）数列的情形.三、再探索立足于前面对范例1、范例2的证明与讨论，对联想中所提出的问题进行探索.1、第三次探索：解决联想1提出的问题在ABC中，若a，b，c成等比数列 得： ： 由第一次探索过程改造而成 ： 由第二次探索过程改造而成2、第四次探索：解决联想2提出的问题在ABC中，若a，b，c成等差数列 2bac （1）2bac 即 （2） ： 由第二次探索过
4、程改造而成（3） 可由命题1的证明改造而成四、再认知有比较才能鉴别（毛泽东语），有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结，我们对a，b，c成等差数列和a，b，c成等比数列的不同条件下的结论进行比较，从中品悟三角形三边成等差数列（或等比数列）的特性，以及在不同条件（a，b，c成等差数列或a，b，c成等比数列）下有关量之间的联系.1、比较、品悟在ABC中，若a，b，c成 在ABC中，若a，b，c成等差数列，则有 等比数列，则有（1）2bac a+c （2） 2、点评：对于上面每一组对应的命题，等号或不等号的两边，在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等”（一般情况下）的个性
5、，凸现着对偶范畴间既相互对立，又相互依存和相互联系的辩证关系.五、总结与自我训练1、总结（1）联想：亲缘联想：联想“已知”或“目标”的亲密一方；对立联想：联想“已知”或“目标”的对立一方.（2）收获（思维、经验、认知等）2、练习：设在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，1、若a，b，c依次成等比数列试求：（1）角B的取值范围；（2）设tsinBcosB，求t的取值范围；（3）设 ，求y的取值范围.2、若a,b,c成等比数列，且 3、若A,B,C成等差数列（1） 的取值范围；（2）若最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围.参考答案：1、解：由题意得 （1）由余弦定理得由得又 由
6、得 注意到 ，即所求B的取值范围为 .（2） ， 即所求t的取值范围为 .（3）设tsinBcosB，则 且 （ ） （ ） 即 即所求y的取值范围为 .点评：在已知条件下求出角B的取值范围，由此为求t及y的取值范围奠定了必要基础.2、解：（1）由a,b,c成等比数列得 又 在ABC中由余弦定理得 （2）解法一（运用正弦定理）在ABC中由正弦定理得 ， 由得 解法二（运用三角形面积公式）：在ABC中由三角面积公式得 ， 由得 点评：当已知式或目标式为三角形边角混合式时，通常首选正弦定理.但是，在条件适宜时利用三角形及其面积公式推理，也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例.3、解：由A,B,C成等差数列得2B=A+C又 （1） （运用和差化积公式） 由得 即所求 的取值范围为 （2）不妨设ABC，则 且A1所求m的取值范围为（1，+）.点评：已知A,B,C成等差数列，既要想到利用由此导出的等量关系： ；又要想到由此导出的不等关系 ，这里在A,B,C成等差数列的条件下，寻求三角形边角式的取值范围的关键环节之一.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
