反比例函数k的几何意义专题探索

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1、例谈反比例函数K值的求解策略 内容摘要：探索定值三角形与定值矩形面积转化问题的求解策略、探索坐标系中特殊四边形的面积与定值矩形面积的倍数关系、探索反比例函数图象单支上双交点问题的解题策略与方法。近几年来有关反比例函数的问题愈加活跃在中考的舞台上，并呈现出愈加愈灵活，愈加愈有深度和难度的趋势。而有关反比例函数K值的求解问题更是成为命题者的众矢之的，使这一知识点成为中考命题的热点、重点和难点。下面本人就近几年的各省市出现的有关K值的求解方面的问题加以归类和总结。 一：同底等高类：此类问题是基于K的几何意义SA0B=K2和S矩形AOBC=K（如下图1、2所示）结合同底（等底）等高的三角形面积相等和同

2、底等高的平行四形（或矩形）的面积相等来出题的。图1图2（一）同底等高三角形类：1、如图3，A是反比例函数y 图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，则ABP面积为 。2. 如图4，已知反比例函数y1 和y2 ，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BCx轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，点P为X轴上任意一点，连接PC、PB。则BPC的面积为 。3. 如图5，过x轴正半轴任意一点作x轴的垂线，分别与反比例函数y1=和y2=的图像交于点A和点B.若点C是y轴上任意一点，连结AC、BC，则ABC的面积为 图5图4图3 解析：此类题是在基于图1演变而来的。很明显图3中SABP=SA0B=K

3、2=3；而图4中SBCP=SBOC=SBOA+SCOA=k12+k22=2+3=5;在图5中SABC=SAOB=k22-k12=2-1=1。此外：在图4中如果以y轴为轴对拆其中一条函数的图象就会由k值求和问题转化为图5中的k值求差的问题，同样在图5中如果以x轴为轴对拆其中一条函数的图象就会由k值求差的问题转化为图4中k值求和的题。总结：1、图形3类问题利用公式：SABP=SA0B=K2 2、图形4类问题利用公式：SBCP=SBOC=k12+k22 3、图形5类问题利用公式：SABC=SAOB=k22-k12（二）同底等高类平行四边形问题：1.如图6，点A是反比例函数（ 0）的图象上的一点，过点

4、A作平行四边形ABCD，使点B、C在轴上，点D在轴上，则平行四边形ABCD 的面积为 2.如图7，点A是反比例函数y=（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数Y = 的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD 为_ 3. 如图8，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 . 图8图7图6 解析：此类题是在基于图2结合平行四边形的面积等于与之同底等高的矩形的面积演变而来的。很明显图6中平行四边形ABCD的面积=矩形AMOD的 面积=k=6;图7中平行四边形ABCD的面积=矩形ABMN的面积=k1+k2=3+2

5、=5;图8中矩形ABCD的面积=矩形BMOC的面积-矩形AMOD的面积，对于图8也可以把此矩形改变为同底等高的平行四边形。同样对于图7和图8我们可能通过对称其中一条函数的图象由k值求和（差）的问题转化为k值求差（和）的问题。注：同（一）类问题一样我们可以得出解决（二）类问题的一般公式。 此类题我们还能很容易的发现它们的另外一个共同的特征：无论是坐标轴上的点还是处在与坐标轴平行的图象上的点，都是以“任一点”的身份出现的，因此，做此类题还有一个较简捷的方法特殊值法。二、图象与矩形相交类1. 如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是_ _2

6、.如图，反比例函数（x0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 3. 如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y（k0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=_ 图9图11图10解析：此类问题最明显的特点是反比例函数的图象与矩形的两边相交且经过对角线的中点。本类问题求解的通法是利用大矩形的面积是定值矩形面积的4倍列方程。在图9中分别由点P向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M、N ，此时四边MPNO为定值矩形。此时它的面积设为K，则可得到方程4K=4，得到K=1。同理在图10中由点M向x轴和y轴作垂线垂

7、足分别为N、P，得定值矩形OPMN，又因为点E、D两点分别在反比例函数的图象上，所以OCE和OAD为定值三角形，因此可列方程：4k = 9 + k22,解得：k = 3.在图11中虽然AOBC是平行四边形，但是我们可以先延长CA交y轴于点M，再由点C向x轴作垂线，垂足为N，得矩形ONCM，此时，OAM和CBN为定值三角形，可列方程：4k=18+ k22 ,解得：k = 6 .三、图象单支双交点类：1、（2013泸州）如图，已知函数y=与反比例函数y= （x0）的图象交于点A将y=的图象向下平移6个单位后与双曲线y= 交于点B，与x轴交于点C（1）求点C的坐标；图12（2）若 =2，求反比例函数

8、的解析式2、（2010兰州）如图，P1是反比例函数y=（k0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA1的面积将如何变化？（2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式图13及A2点的坐标解析：此类问题的特点是双曲线的一条分支与图形有两个交点，利用坐标绝对值的比值和三角形的相似比设出线段长，然后利用k值相等列方程。 1题（图12）详解：解：(1)把y=0代入y=43x-6得：x=92 C(92,0)(2)分别过点A作AMx轴于点M，作BNx轴于点N。OABCAOM=BCNRtOAMRtBCN由y=43x得：yx=43 即：AMOM=43设AM=4a,OM=3a,OABC=2,BN=2a,CN=32a列方程得：3a4a=92+32a2aa012a=9+3a a=1A（3，4）因此，k=34=12,反比例函数的解析式为y=12x以上是本人结合近几年的中考试题总结出来的一些关于反比例函数k的几何意义的解题策略，需要说明的是由于这一知识点越来越成为各地市出题的热点，所以，题目的灵活性的越来越强，鉴于此本文对于k的探讨也不可能穷尽所有的问题，因而需要我们善于把出现的新问题转化入已有的知识体系中去，用已有的知识体系去自行解决，这才是以不变应万变的真正所在，也是我们学习数学真正所在。