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1、汽车结构有限元分析汽车结构有限元分析 王 童 长安大学汽车学院 王 童 长安大学汽车学院 电话：电话：17792594186 邮箱：邮箱： 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： 第三讲有限元分析过 程及例题讲解 第三讲有限元分析过 程及例题讲解 1. 有限元分析的一般过程概述有限元分析的一般过程概述 2. 分析过程的分步详解分析过程的分步详解 3. 典型例题分析典型例题分析 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： 1.有限元分析的一般过程概述有限元分析的一般过程
2、概述 （1）结构离散化）结构离散化 将结构或零件人为地划分成有限个子域（这些子域称为将结构或零件人为地划分成有限个子域（这些子域称为 单元单元），假定单元之间通过有限个点相互连接（这些连 接点被称做 ），假定单元之间通过有限个点相互连接（这些连 接点被称做节点节点）。）。 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： （2）选择位移插值函数）选择位移插值函数 在单元内选择一个简单的在单元内选择一个简单的位移插值函数位移插值函数，将单元内 任意点的位移表示为节点位移的插值形式 ，将单元内 任意点的位移表示为节点位移的插值形式 （3）单元
3、分析）单元分析 推导推导单元刚度矩阵单元刚度矩阵和和等效节点载荷向量等效节点载荷向量 （4）整体分析）整体分析 组装单元矩阵，形成结构总体刚度矩阵组装单元矩阵，形成结构总体刚度矩阵 （5）约束处理）约束处理 引入边界条件，消除刚体位移，使方程具有唯一解引入边界条件，消除刚体位移，使方程具有唯一解 （6）方程求解）方程求解 求解方程，获得结构未知各节点位移求解方程，获得结构未知各节点位移 （7）计算应力）计算应力 由节点位移计算单元应变，再由胡克定律，计算单 元应力 由节点位移计算单元应变，再由胡克定律，计算单 元应力 e K e P 视频视频 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆
4、工程系王童Tel：17792594186 Email： （1）结构的离散化）结构的离散化 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有 限个节点相互连接的离散系统。 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有 限个节点相互连接的离散系统。 这一步要解决以下几个方面的问题这一步要解决以下几个方面的问题: 选择一个适当的参考系选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要 照顾到建立模型的方便。 ，既要考虑到工程设计习惯，又要 照顾到建立模型的方便。 根据结构的特点，选择不同类型的单元根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能 同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单
5、元的 连接处理等问题。 根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求， 。对复合结构可能 同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的 连接处理等问题。 根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确 定单元的尺寸和阶次 合理确 定单元的尺寸和阶次。 根据工程需要， 。 根据工程需要，确定分析类型和计算工况确定分析类型和计算工况。要考虑参数区 间及确定最危险工况等问题。 根据结构的实际支撑情况及受载状态， 。要考虑参数区 间及确定最危险工况等问题。 根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界 约束和有效计算载荷 确定各工况的边界 约束和有效计算载荷。 2.分析过程的分步详解分
6、析过程的分步详解 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： 在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值 函数 在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值 函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函 数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形 式。 ，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函 数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形 式。 e QNU= 位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项 式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。 但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三 角函数、样
7、条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足 相容条件。 （ 位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项 式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。 但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三 角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足 相容条件。 （2）选择）选择位移插值函数位移插值函数 A. 位移插值函数的要求位移插值函数的要求 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： 形函数的性质形函数的性质： 1） 相关节点处的值为） 相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为，不相关节点处的值为 0。 2） 形函数之和恒等于
8、） 形函数之和恒等于 1。 B. 位移插值函数的收敛性（完备性）要求：位移插值函数的收敛性（完备性）要求： 1） 位移插值函数必须包含常应变状态。） 位移插值函数必须包含常应变状态。 2） 位移插值函数必须包含刚体位移。） 位移插值函数必须包含刚体位移。 C. 复杂单元形函数的构造复杂单元形函数的构造: 对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件 求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更 多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。 对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件 求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更 多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。 = ee L
9、x L x N,1 以阶梯轴的形函数为例以阶梯轴的形函数为例 e L x N=1 1 e L x N= 2 两个形函数分别为 在 节点有： 两个形函数分别为 在 节点有：i在 节点有：在 节点有：j = = 0 1 2 1 N N = = 1 0 2 1 N N 在任何点有：在任何点有：1 21 =+ NN 这里我们称为的相关节点， 为的相关节点，其它 点均为不相关节点。 这里我们称为的相关节点， 为的相关节点，其它 点均为不相关节点。 i j 1 N 2 N 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： 使用最小势能原理，需要计算结
10、构势能，由弹性应变能和 外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单 元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在 单元上的，也可以采用叠加计算。 使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和 外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单 元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在 单元上的，也可以采用叠加计算。 A.计算单元弹性应变能计算单元弹性应变能 dV T V e e = 2 1 单元体积单元体积 e V e QNu=由几何关系代入前式有：由几何关系代入前式有： e V T T ee T T V ee QdVBDBQdVQBDBQ ee
11、= 2 1 2 1 令：令： dVBDBK T V e e = 称单元刚度矩阵，简称单刚 这样单元弹性应变能可以表示为： 称单元刚度矩阵，简称单刚 这样单元弹性应变能可以表示为： ee T ee QKQ= 2 1 （3） 单元分析 目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。 ） 单元分析 目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。 NB= 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： B. 计算单元外力功计算单元外力功 dVFNQdVFNQdVFuW b T V T e b T T V e b T V e b eee = dVFNP b T V
12、e b e = e b T ee b PQW = 1）体力虚功 令：称单元等效体力载荷向量 单元体力虚功可以表示为： ）体力虚功 令：称单元等效体力载荷向量 单元体力虚功可以表示为： = eee A s T T e s T T A e s T A e s dAFNQdAFNQdAFuW 111 2）表面力虚功）表面力虚功 单元上外力已知的表面，注意！这里只考虑结构 的边界表面 单元上外力已知的表面，注意！这里只考虑结构 的边界表面 e A 1 = e A s T e s dAFNP 1 令：称单元等效面力载荷向量 单元表面力虚功可以表示为： 令：称单元等效面力载荷向量 单元表面力虚功可以表示为
13、： e s T ee s PQW = 长安大学汽车学院车辆工程系王童长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel：17792594186 Email： 3）节点力虚功）节点力虚功 e i T ee n PQW = 从前面推导可以看出：从前面推导可以看出： 单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力 虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向 量。 单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力 虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向 量。在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移 插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量 和等效
14、面力载荷向量的计算公式即可。所以我们说 在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移 插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量 和等效面力载荷向量的计算公式即可。所以我们说有限元分析的 第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷 向量。 有限元分析的 第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷 向量。 几点说明：几点说明：1）单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各 重要特性。 单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各 重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义 是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是 奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚 度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。 所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义 是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是 奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚 度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。 2）按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷 向量称为一致载荷向量。 按照本节公式计算的单元等效体力载荷
