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1、坐标的轮换对称性:简单的说就是将坐标轴重新命名, 如果积分区间的函数表达不变,则被积函数中的x,y,z也同 样作变化后,积分值保持不变。,特点及规律:,(1) 对于曲面积分,积分曲面为u(x,y,z)=0, 如果将函数 u(x,y,z)=0中的 x,y,z 换成y,z,x后, u(y,z,x)仍等于0,即,也就是积分曲面的方程没有变, 那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z)dS=f (y,z,x)dS; 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z 换成y,x,z 后,u(y,z,x)=0 那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z) dS= f(y,x,z)dS; 如果将函数u(x,y,z)=
2、0 中的x,y,z 换成z,x,y后,u(z,x,y)=0, 那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z) dS=f(z,x,y)dS , 同样可以进行多种其它的变换。,(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可,比如: 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后,u(y,z,x)=0, 那么在这个曲面上的积 分 f(x,y,z)dxdy=f(y,z,x)dydz, f(x,y,z)dydz=f(y,z,x)dzdx, f(x,y,z)dzdx=f(y,z,x)dxdy。 (3) 将(1)中积分曲面中的z去掉,就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0
3、,如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后,仍满足u(y,x)= 0,那么在这个曲线上的积分 f(x,y)ds=f(y,x)ds;实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后,仍满足u(y,x)=0,则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类和(2)总结相同。 (4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似,也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后,相当于将坐标轴重新命名,积分区间没有发生变化,则被积函数作相应变换后,积分值不变。,例 计算 , 其中L是球面x2+y2+z2=R2与平面x+y+z=0的交线。,解,由对称性可知,ex. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),