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1、第二章习题课1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证明：设从镜 M M M ,初始坐标为 ，往返一次后坐标变为 =T ,往1210r 1r0返两次后坐标变为 =T T2r0r而对称共焦腔，R =R =L1则 A=1- =-1 B=2L =02L2RL1C=- =0 D=- =-1121R211所以，T= 0故， = = 即，两次往返后自行闭合。2r10r02试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔的稳定性条件为 0g g 1,其中 g =1- ,g =1-121RL2（a 对平凹腔：R = ,则 g =1,2
2、201- 1，即 0LR1L1(b)对双凹腔：0g g 1, 0 112 21RL， 或 且R21(c)对凹凸腔：R = ,R =- ,120 1， 且21L1L|213激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。解： )n1(LL由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的 n1LCe由 0 1，得 21eeL2mL1e则 7m.7.c4.图 2.1 所示三镜环形腔，已知 ,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 在l R什么范围内该腔是稳定腔。图示环形强为
3、非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（2.2.7）中的 ，对于在与此垂直的平2/)cos(Rf面内传输的弧矢光线， ， 为光轴与球面镜法线的夹角。)cos2/(Rf解:透镜序列图为该三镜环形腔的往返矩阵为： DCBA10Lf-10f-10LT23DAR RRR1r12r2r3132r41由稳定腔的条件： ，得：1DA21 2fL10或 。2Lf3若为子午光线，由 则 或30cosR21f32R44若为弧矢光线，由 ，则 或csf 2LR5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，L30cm，d=2a=0.12cm, ,镜的反nm8.6射率为 ， ，其他损耗以每程 0.0
4、03 估计。此激光器能否作单模运转？1r96.02如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 ，小孔边长应为多大？试根据TEM0图 2.5.5 作一大略的估计、氦氖增益由公式 计算。dlelg1*340解: 菲涅耳数 9.8.623)(2 nmcLaN增益为 0751.*140elg模衍射损耗为 ，TEM097模衍射损耗为 ，总损耗为 0.043，增益大于损耗 ;16模衍射损耗为 ，总损耗为 0.043，增益大于损耗;02*5衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为 234.0因此不能作单模运转1.e*0gl为实现 单横模运转所加小孔光阑边长为：TEmLs 10*.586
5、320240 6试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？TEM30解： 12833)(XHX， ，由 得节线位置：0163,226,xL，1x43,2因此节线是等间距分布的。7求圆形镜共焦腔 和 模在镜面上光斑的节线位置。TEM2002解： 模的节线位置由缔合拉盖尔多项式：02由 得 ，0)()412 L22,1又 则0srs0模的节线位置为 或 sin2 0，TE20r即： 23,8.今有一球面腔， ， ，L80cm。试证明该腔为稳定腔；求出mR5.1它的等价共焦腔的参数。解：g =1- =0.47 g =1- =1.8 ，g g =0.846 1L212即：0 g g
6、 1，所以该腔为稳定腔。12由公式（2.8.4）Z = =-1.31m1212RLZ = =-0.15m221f = =0.25m221121RLRL2f=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L50cm，R 2m ，2a1cm， 。试计m6.10算 、 、 、 、 、 各为多少。1s2s0102解： ， ，g432RL)(111Ls)(241L)(1R43m0*7.3)(21412 LRLs， )2443m0*.3)1(22410gLrad0*.3, 2s1ef1aN10, 5.2sef2-1020*8.11今有一平面镜和一 R=1m 的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远
7、场角；画出光束发散角与腔长 L 的关系曲线。解： ，)1(22410 gL gL241)()(24R当 时， 最小.mL5.02012推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当 R100cm 时， 随 L 而变化的曲线；（2）当 L100cm 时， ， 随 R 而变化的曲线。ss 1s2s解： )(21411 Rs， 24L1)(212412 Rs)(241LR)(（1） cm02(2) cmL1013.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的 R2m ，腔长 L1m。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径 的大小和位置、该高斯光束的 f 及 的大小。0 0解： )(212LRfm
8、*2即： f107.30f*8014某高斯光束腰斑大小为 ， 。求与束腰相距 、 、m14.06.0cm301远处的光斑半径 及波前曲率半径 。m10R解： ，20)(1)(fzzzf2)(其中， f385.20： ，cmz3mc4.1)( mcR79.0)3(： ， 106291： ，z.)0()(15若已知某高斯光束之 ， 。求束腰处的 参数值，与束腰相m3.0n8.62q距 处的 参数值，以及在与束腰相距无限远处的 值。cm30qq解： )0(,)(120Ri束腰处： cmifiq6.400)8.102()(0Kzqcmicm)6.43:3)(z16某高斯光束 ， 。今用 的锗透镜来聚焦
9、，当束腰与2.10.10cF2透镜的距离为 、 、 、 时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。c解： mf43.20（2.10.17）2)(fFll(2.10.18)2020)(fl: , ml1m14. m6014.: , l203. 5.: , cl117013: , ml296. m562.可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。17 激光器输出光 ， ，用一 的凸透镜聚焦，求欲得2CO.1030cF2到 及 时透镜应放在什么位置。05.解： mf67.2（2.10.18）2020)(flF(1) 22085.1flm39.1(2) 22029.6)( mfFlml8
10、7.2318如图 2.6 光学系统，入射光 ，求 及 。m6.1003l解： f67.20fFll 02.)(211 mfl52100 1.)(cmdl32f42015.fFll 082.)(223 mfl 52200 14.)(19某高斯光束 ， 。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜.106.0，口径为 ；副镜为一锗透镜， ，口径为 ；高斯束腰与透mR1c2cF5.21cm5.1镜相距 ，如图 2.3 所示。求该望远系统对高斯束的准直倍率。l解： (2.11.19)212)()(flFflM，mf47.02R5.029521已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成， ， ， 。如mR12
11、mL5.0何选择高斯光束腰斑 的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束？0解：由式(2.12.3)及球面反射镜等价焦距 ，有：2F和2101llR2021llR又 ，取 。Ll21 m6.得： ，l250,37.m301*28.22 （1）用焦距为 的薄透镜对波长为 、束腰半径为 的高斯光束进行变换，并使变F0换后的高斯光束的束腰半径 （此称为高斯光束的聚焦） ，在 和 （0 fFf）两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离 ？（2）在聚焦过程中，20f l如果薄透镜到高斯光束束腰的距离 不能改变，如何选择透镜的焦距 ？l解： ，2020)(flF 2201Ffl(1) 当 时，
12、须 解得： 或f22fl 2fFl2fFl当 时，总满足 ，并在 时，最小。f10Fl(2) 不变：l lfflF2)(223试由自再现变换的定义式（2.12.2）用 参数法来推导出自再现变换条件式（2.12.3） 。q解： (2.12.2)0(qlc(2.10.18)2022)()(lFic 202)()(lF令 即 得：0 2022)()(l 202)()(1lF故 (2.12.3)(1220llF24试证明在一般稳定腔 中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径),(21LR分别等于各该镜面的曲率半径。解： 124241012102 11 21 RLRLLRLRT由(2.12.10),参考平面上的曲率半径为 1212124)(2 RLRADBR
