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1、主要内容 1、函数的定义与性质 函数定义 函数性质 2、函数运算 函数的逆 函数的合成 3、双射函数与集合的基数,第八章 函数,主要内容 函数定义与相关概念 函数定义 函数相等 从A到B的函数f:AB BA 函数的像与完全原像 函数的性质 单射、满射、双射函数的定义与实例 构造双射函数 某些重要的函数,8.1 函数的定义与性质,定义8.1 设 F 为二元关系, 若xdomF 都存在唯一的 yranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值. 例： F1=, F2=, F1是函数, F2不是函数. ,函数定义,
2、4,定义8.2 设F, G 为函数, 则 F=G FGGF 如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF=domG (2) xdomF=domG 都有F(x)=G(x) 函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.,函数定义,定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA, 符号化表示为 BA = f | f：AB . |A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm. A=, 则BA=B=. A且B=, 则BA=A= .,定义8.3 设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB, 则称 f
3、为从A到B的函数, 记作 f：AB. 例： f：NN, f(x)=2x 是从N到N的函数, g：NN, g(x)=2 也是从N到N的函数.,从A到B的函数,例1 设A=1,2,3, B=a,b, 求BA.,解BA= f0, f1, , f7, 其中 f0 = , f1 = , f2 = , f3 = , f4 = , f5 = , f6 = , f7 = ,实例,定义8.5 设函数 f：AB, A1A, B1B (1) A1在 f 下的像 f(A1) = f(x) | xA1, 当A1=A时称f(A)为函数的像 (2) B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)=x|xAf(x)B1 注意： 函
4、数值与像的区别：函数值 f(x)B, 像f(A1)B; 一般说来 f 1(f(A1)A1, 但是A1f 1(f(A1).,例： 设 f：NN, 且 令A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f( 0,1) = f(0), f(1)=0,2 f 1(B) = f 1(2)=1,4,函数的像和完全原像,例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f:RR, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:RZ, f(x) = x (4) f:RR, f(x)=2x+1 (5) f:R+R+, f(x)=(x2+1)
5、/x, 其中R+为正实数集.,定义8.6 设 f：AB, (1) 若 ranf=B, 则称 f:AB是满射的； (2) 若 yranf 都存在唯一的 xA 使得 f(x)=y, 则称 f:AB是单射的； (3) 若 f:AB 既是满射又是单射的, 则称 f:AB是双射的,函数的性质,解: (1) f:RR, f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的. (2) f:Z+R, f(x)=lnx 是单调上升的, 是单射的. 但不满射, ranf=ln1, ln2, . (3) f:RZ, f(x)= x 是满射的, 但不是单射的, 例如f(1.5)=f(1.2)=1.
6、(4) f:RR, f(x)=2x+1 是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R. (5) f:R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的.,例题解答,例3 对于给定的集合A和B构造双射函数 f:AB (1) A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 (2) A=Z, B=N (3) A=0,1, B=1/4,1/2 (4) , B=1,1,实例,(1) A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解： A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B=f0, f1, , f7, 其中 f0=, f1=, f
7、2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,. 令 f:AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f7,解答,解答,(2) A=Z, B=N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z： 011 2 23 3 N： 0 1 2 3 4 5 6 这种对应所表示的函数是：,解答,13,(3) A=0, 1, B=1/4, 1/2 令 f:0,11/4, 1/2, f(x)=(x+1)/4,解答,解答, B=1,1 令 f:/2, 3/21,1 f(x) = sin
8、x,定义8.7 (1)设 f:AB, 如果存在cB使得对所有的 xA都有 f(x)=c, 则称 f:AB是常函数. (2) 称 A上的恒等关系IA为A上的恒等函数, 对所有的xA都有IA(x)=x. (3) 设, 为偏序集，f:AB，如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的； 如果对任意的x1, x2A, x1x2, 就有f(x1) f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.,某些重要函数,(4) 设A为集合, 对于任意的AA, A的特征函数 A : A0,1定义为 A (a)=1, 当a
9、A A (a)=0, 当aAA (5) 设R是A上的等价关系, 令 g: AA/R g(a)=a, aA 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.,某些重要函数,某些重要函数,(1) 偏序集, , R为包含关系, 为一般的小于等于关系, 令 f: P(a,b)0,1, f()=f(a)=f(b)=0, f(a,b)=1, 则 f 是单调递增的, 但不是严格单调递增的.,实例4,17,(2) A的每一个子集 A 都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如A=a,b,c, 则有 =,， a,b=,.,实例4,18,(3) 不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的
10、自然映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射. 例如 A=1,2,3, R=,IA g: AA/R, g(1)=g(2)=1,2, g(3)=3.,实例4,主要内容 复合函数基本定理 函数的复合运算与函数性质 反函数的存在条件 反函数的性质,8.2 函数的复合与反函数,定理8.1 设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足 (1) dom(FG)=x|xdomFF(x)domG (2) xdom(FG)有FG(x)=G(F(x),证明： 先证明FG是函数. 因为F, G是关系, 所以FG也是关系. 若对某个xdom(FG)有 xF Gy1和 xFGy2, 则 FGFG t1(FG)t2(F
11、G) t1t2(t1=t2GG （F为函数） y1=y2 （G为函数） 所以 FG 为函数,复合函数基本定理,任取x, xdom(FG) t y(FG) t (xdomFt=F(x)tdomG) x x | xdomFF(x)domG 任取x, xdomFF(x)domG FG FG xdom(FG)FG(x)G(F(x) 所以(1) 和(2) 得证,证明,推论1 设F, G, H为函数, 则(FG)H和F(GH)都是函数, 且 (FG)H=F(GH) 证明：由上述定理和运算满足结合律得证.,推论2 设 f:AB, g:BC, 则 fg:AC, 且xA都有 fg(x)=g(f(x). 证明：由
12、上述定理知 fg是函数, 且 dom(fg)=x|xdomff(x)domg =x|xAf(x)B=A ran(fg) rang C 因此 fg:AC, 且xA有 fg(x)=g(f(x).,推论,定理8.2 设f:AB, g:BC (1) 如果 f:AB, g:BC是满射的, 则 fg:AC也是满射的 (2) 如果 f:AB, g:BC是单射的, 则 fg:AC也是单射的 (3) 如果 f:AB, g:BC是双射的, 则 fg:AC也是双射的,证明： (1) 任取cC, 由g:BC的满射性, bB使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:AB的满射性，aA使得 f(a)=b. 由合成定理有
13、 fg(a) = g(f(a) = g(b) = c, 从而证明了fg:AC是满射的.,函数复合与函数性质,(2) 假设存在x1, x2A使得 f g(x1)=f g(x2) 由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2) 因为g:BC是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:AB是单射的, 所以x1=x2. 从而证明f g:AC是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:AC是单射(或满射、双射)的, 不一定有 f:AB 和 g:BC都是单射(或满射、双射)的.,定理8.3 设 f : AB, 则 f = f IB = IAf,证明,考虑集合A=a1,a2,a3, B=b1,b2,b3,b4, C=c1,c2,c3. 令 f=, g=, f g=, 那么 f:AB和f g:AC是单射的, 但g:BC不是单射的.,实例,26,考虑集合A=a1,a2,a3, B=b1,b2,b3, C=c1,c2. 令 f=, g=, f g=, 那么g:BC 和 f g:AC是满射的, 但 f:AB不是满射的.,实例,反函数存在的条件 (1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系. (2) 任给单射函数 f:AB, 则f 1是函数
