有限元考试复习题

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1、第1章 杆件结构 1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的 物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？ 答： （1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过 坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。 将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。 （2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤 其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较 高。 （3） 刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能

2、承受的 力的大小。通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度 矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩 阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进 一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。 （4）特点：1）对称性。由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也 具有对称性。2)奇异性。即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。3)存 在相当数量的零元素。由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因 此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。 1.2 如图所示的圆杆，由

3、两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点 1，2，3 上 作用有轴向节点载荷 1 Q、 2 Q、 3 Q而平衡。试写出 3 个轴向载荷与节点的轴向位移 1 u、 2 u、 3 u之间的矩阵关系。 解： 杆件 1 的单元刚度矩阵为： 1 1 1 11 11 EA k l ； 杆件 2 的单元刚度矩阵为： 2 2 2 11 11 EA k l ； 结构的整体刚度矩阵为： 11 1111 1112 1122 1122 21221112 112222 2122 22 22 EAEA ll kk EAEAEAEA Kkkkk llll kk EAEA ll 而又 12 llL ，所以 11 1122

4、 22 AA E KAAAA L AA 令节点位移向量为 123 , T u u u，节点力为 123 , T FQ Q Q，从而可得 3 个轴向 载荷与节点的轴向位移其关系为 1111 211222 3223 QAAu E QAAAAu L QAAu 1.3 如图所示为三角桁架，已知 25 /101 . 2mmNE，两直边的长度ml1，各杆的截 面积 2 1000mmA，求此结构的整体刚度矩阵 K，若节点的编号改变后，问 K的有 无变化？ 解：杆件的单元刚度矩阵为： 11 11 i i i EA k l ，从而可得各个单元在局部坐标 系下的单元刚度矩阵为： 1 11 11 EA k l ；

5、2 11 11 EA k l ； 3 11 112 EA k l 平面杆单元坐标转置矩阵： cos sin cos sin T ， 而又 000 123 90045 、和， 从而各个单元的坐标转置矩阵分别为： 1 0 1 0 1 T ； 2 1 0 1 0 T ； 3 2 2 2 2 2 2 2 2 T 根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为 11 11 000000 101101000101 001100010000 010101 T EAEA kT kT ll 22 22 101010 001110000000 011100101010 000000 T E

6、AEA kT kT ll 33 33 101111 101111001111 0111001111112 22 2 011111 T EAEA kT kT ll 令节点位移向量为 112233 , T u v u v u v， 节点力为 112233 , T xyxyxy Fqqqqqq， 按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得 101000 010001 1111 101 2 22 22 22 2 1111 00 2 22 22 22 2 1111 00 2 22 22 22 2 1111 011 2 22 22 22 2 EA K l 若节点的编号改变后， K会发生变化，但是并不影响最终的计算结

7、果。 第2章 平面问题 2.1 平面结构由平板与加强直杆组合而成，如下图所示，在板的斜边上作用均匀的垂 直载荷q，已知板与杆的尺寸a、b、t及材料性质 E、，若加强杆只承受轴力，将 三角板离散为 4 个三角形单元，试简要说明用有限元位移法求解此结构的位移与应力 的方法与步骤。写出整体载荷列阵。 解：用有限元位移法求解此结构的位移与应力的方法与步骤如下所示： （1） 对整个结构进行离散化， 将其分割成若干个单元， 单元间彼此通过节点相连； （2）求出各三角形单元的刚度矩阵K(e)。K(e)是由单元节点位移量(e)求单元 节点力向量F(e)的转移矩阵，其关系式为：F(e)=K(e)(e)； （3）

8、集成结构的总体刚度矩阵K并写出总体平衡方程。总体刚度矩阵K是由整 体节点位移向量求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为F=K，此即为 总体平衡方程； （4）引入边界条件，简化求解方程，求出各节点的位移； （5）求出各三角形单元内的应力和应变。解有限元方程：根据边界条件修正的总 体有限元方程组， 是含所有待定未知量的封闭方程组， 采用适当的数值计算方法求解， 可求得各节点的函数值。 外荷载为线性分布的表面力，且为均布荷载。在单元坐标系中，作用于单元 123 上的外荷载等效为节点力为： 1 5 100010 4 T s fqta；作用于单元 356 上的 外荷载等效为节点力为： 2 5 10001

9、0 4 T s fqta。进行转置后，可得在整体 坐标系的荷载列阵为： 11111 000000 42242 T Fqtaqtaqtaqtaqtaqta 2.2 图示的三角形单元 ABC，其尺寸如图，单位：mm，已知材料的弹性模量 MPaE 5 102，泊松比为 0，如 A 点的x方向的位移muA 8 102 ，y方向的位移 为 0；C 点沿x方向的位移为 0，沿y方向的位移mvC 8 10；而 B 点的位移为零。试 计算此单元的应力及三个节点的节点力。 解：由题中条件可得三角形单元的节点位移列阵为： 0000 T e AC 其中： 8 2 10 m AA u ， 8 10 m CC v 。

10、单元 ABC 为平面应力单元，A 节点编号为 i，B 节点编号为 j，C 节点编号为 m， 则其应力矩阵 ijm SSSS 为： 2 , , 2(1) 11 22 ii iii ii bc E Sbci j m A cb 其中： ijmmj ijm ijm ax yx y byy cxx ， ijm，A为三角形 ABC 的面积。 而又 e iii S，则可得 2 , , 2(1) 11 22 ii iiii ii bc E bci j m A cb 三角形单元 ABC 的应力为： eeee iijjmm SSSS 。 三角形单元 ABC 的单元刚度矩阵 e K为： iiijim e jijjj

11、m mimjmm KKK KKKK KKK 其中： 2 11 22 114 1 22 rsrsrsrs rs rsrsrsrs b bc cb cc b E K A c bb cc cb b 。 节点力的计算公式为 e FK ，将相关数据带入计算公式可得： 253.7859.902133.98155.38119.8215.2N8 T F 2.3 正方形平面结构，沿对角线 AD 方向承受两集中拉力 P，其网格示意所示。若取 整体计算时，结点应如何编号使其半带宽最小？并说明怎样处理位移约束。如果利用 结构的对称性，只计算 1/4，又如何处理边界条件？ 答:（1）当节点编号合理即相邻单元的节点编号差

12、尽可能小，这些稀疏的非零元 素集中在以对角线为中心的一条带状区域内，具体编码如下图所示。B=d（D+1）对 于平面问题 d=2，则有 Dmin=5。由于 AD 方向承受两集中力整体对称，则两对称轴线 交点处的限制位移为 0，对称轴则是横向位移限制为 0，轴向位移放松。 （2）取题中结构的四分之一，结构单元划分情况如下图所示。边界条件为： v4=v5=v6=0，分别对应总体平衡方程的 8、10、12 行，u1=u2=u3=0 分别对应 1、3、7 行。因此，在计算机程序实现中将这 6 行中的对角线元素乘以大数即可，用手解即可 把这 6 行和 6 列划掉，使总体平衡方程变为 6 阶线性方程组。 x

13、 y 1 a 2 3 a 5 6 4 a a 2.4 如上题中在 BC 间连一刚度为 k 的弹簧，按刚度矩阵的物理意义，在有限元分析 中如何处理此弹簧?弹簧原长为 BC 如何？若原长比 BC 的长度小，该怎样处理？ 答：在有限元分析中，刚度为 k 的弹簧可以视为杆单元进行处理，只需要将它的刚度 系数叠加到整体刚度矩阵中的对应位置即可。如果弹簧原长比 BC 小，则其为有初 始应力的单元且为拉力。将弹簧的初始力 F=k作用于对应节点，弹簧的刚度矩阵仍 然按照 BC 长度计算即可。 第3章 等参数单元 3.1 证明平面三角形常应变单元为等参数单元。 证明： 等参数单元：单元的几何形状和单元内的参变量函数可采用相同数目的节点参数 和相同的形函数进行变换。平面三角形常应变单元的形函数既可用来进行单元内位移 插值，也可用来表示单元内任意一点的坐标。 其位移模式为： iijjmm iijjmm uu Lu Lu L vv Lv Lv L 其坐标变换式为： iijjmm iijjmm