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1、一、二次函数中的最值问题：例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形RtAOB与Rt AOC如图放置，点B、C 的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A C相交于D,若AOC绕点O旋转90至AOC，如图所示（1）若抛物线过C、 A、A，求此抛物线的解析式及对称轴； y=-x2+2x+3（2）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问P在何处时AP A的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使 AAN与 AAP的面积相等?,若存在,请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。例 2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xO
2、y中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值解答：解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物
3、线的解析式为：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；抛物线：y=x2+x+4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直线AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时，2x5（3）SAPE=AEh，当P到直线AB的距离最远时，SABC最大；若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直线L：y=x+；可得点P（，）由（2）得：E（5，），则直线PE：y=x+9；新 课 标 第一网则点F（，0），AF=OA+OF=；PAE的
4、最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为针对训练：1、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x21交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，且满足CPA=OBA，求出所有满足条件的P点坐标；（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）抛物线y1=x21向右平移4个单位的顶点坐标为（4，1），所以，抛物线y2的解析式为y2=
5、（x4）21；（2）x=0时，y=1，y=0时，x21=0，解得x1=1，x2=1，所以，点A（1，0），B（0，1），OBA=45，联立，解得，点C的坐标为（2，3），CPA=OBA，点P在点A的左边时，坐标为（1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），所以，点P的坐标为（1，0）或（5，0）；（3）存在点C（2，3），直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，联立，消掉y得，2x219x+302b=0，当=0，方程有两个相等的实数根时，QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=（）=，此时y=（4）21=，存在第四象限的点Q（，），使得QOC中OC边上的高h有最大值，
6、此时=19242（302b）=0，解得b=，过点Q与OC平行的直线解析式为y=x，令y=0，则x=0，解得x=，设直线与x轴的交点为E，则E（，0），过点C作CDx轴于D，根据勾股定理，OC=，则sinCOD=，解得h最大=2、如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并类型一、最值问题：类型一、最值问题：（2013泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，），已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过三点A、B、O（O为原
7、点）（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）考点：二次函数综合题3338333分析：（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；（3）设P（x，y）（2x0，y0），用割补法可表示PAB的面积，
8、根据面积表达式再求取最大值时，x的值解答：解：（1）将A（2，0），B（1，），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a0），可得：，解得：，故所求抛物线解析式为y=x2x；（2）存在理由如下：如答图所示，y=x2x=（x+1）2+，抛物线的对称轴为x=1点C在对称轴x=1上，BOC的周长=OB+BC+CO；OB=2，要使BOC的周长最小，必须BC+CO最小，点O与点A关于直线x=1对称，有CO=CA，BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时BOC的周长最小设直线AB的解析式为y=kx+t，则
9、有：，解得：，直线AB的解析式为y=x，当x=1时，y=，所求点C的坐标为（1，）；（3）设P（x，y）（2x0，y0），则y=x2x 如答图所示，过点P作PQy轴于点Q，PGx轴于点G，过点A作AFPQ轴于点F，过点B作BEPQ轴于点E，则PQ=x，PG=y，由题意可得：SPAB=S梯形AFEBSAFPSBEP=（AF+BE）FEAFFPPEBE=（y+y）（1+2）y（2+x）（1x）（+y）=y+x+ 将代入得：SPAB=（x2x）+x+=x2x+=（x+）2+当x=时，PAB的面积最大，最大值为，此时y=+=，点P的坐标为（，）类型二、探索三角形的存在性。例1、（2013绵阳）如图，二
10、次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，2），交x轴于A、B两点，其中A（1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为2，即b=0，c=
11、2，再将A（1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；（2）设P点坐标为（m，n）由于PDB=BOC=90，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OCBDBP；OCBDPB根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形过点Q作QEl于点E利用AAS易证DBPEPQ，得出BD=PE，DP=EQ再分两种情况讨论：P（m，）；P（m，
12、2（m1）都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x0且m1即可判断不存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，2），b=0，c=2；y=ax2+bx+c过点A（1，0），0=a+02，a=2，抛物线的解析式为y=2x22当y=0时，2x22=0，解得x=1，点B的坐标为（1，0）；（2）设P（m，n）PDB=BOC=90，当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：若OCBDBP，则=，即=，解得n=由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点
13、P坐标为（m，）或（m，）；若OCBDPB，则=，即=，解得n=2m2由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标为（m，2m2）或（m，22m）综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m2）或（m，22m）（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形如图，过点Q作QEl于点EDBP+BPD=90，QPE+BPD=90，DBP=QPE在DBP与EPQ中，DBPEPQ，BD=PE，DP=EQ分两种情况：当P（m，）时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；当P（m，2（
14、m1）时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；综上所述，不存在满足条件的点Q类型三、探究二次函数与圆：（2013巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作P的正半轴交于点C（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定245761 专题：计算题分析：（1）
