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1、1,第七章 数学物理定解问题,某个物理量随时间变化，这导致以时间为自变量的常微分方程 （例：质点的运动方程，电路微分方程）,但实际中，往往要求空间连续分步的状态和过程，电场强度， 电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间的四维空间的 变化情况。研究物理量在空间某个区域的情况，以及随时间 的变化情况，自变量不仅仅是时间，还有空间坐标。,为解决这些问题，首先应掌握物理量在空间的分部规律和时间 的变化规律（物理规律），具体问题既有共性又有特殊性 （个性）,2,边界条件：,在具体的问题中，必须考虑研究的区域的边界的状况，周围的“环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。,初始条件：,为了了解随
2、时间发展变化的问题，还必须考虑研究对象的 特定历史（不能割裂历史），即在某个所谓“初始”时刻的 状态，初始条件,定解条件： 边界条件和初始条件合称为定解条件。,3,数学物理方程,物理规律应用偏微分方程来表达出来，叫做数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体的条件无关，数学上，数学物理方程本身 （不带定解条件）叫做泛定方程。,本书任务：在给定的定解条件下，求解数学物理方程， 这叫作数学物理定解问题,4,第一节、数学物理方程的导出,导出步骤：,首先确定物理量u，从研究的系统中划出一小部分，根据物理 规律分析其他临近部分和这小部分的相互作用（忽略次要因素） 我们所研究的相互作用在一个短的时间段
3、内怎样影响物理量u， 把这种影响用算式表达出来，然后简化整理就得到数学物理方程,波动方程、输运方程、稳定场方程,双曲型、抛物型、椭圆型偏微分方程,方程类型：,5,(一)、均匀弦的微小横振动,弦乐器,声带等都是弦的振动, 下面导出弦的振动方程.,设弦是柔软的,崩紧以后, 弦上小段之间存在张力,如果 重量跟弦张力相比很小,可以 忽略为没有重量的弦,如果弦 静止,则是一直线,取做x轴,各 点的横向位移记作u,是x跟时间t的函数,要导出的是u所满足的方程.,机械运动的基本定律为F=ma,但弦不是质点,对整体不使 用,但可以细分为小段,每段抽象成质点,整体由许多互相联系的 质点组成,就可以应用牛顿定律.
4、,6,拿区间x,x+dx-B作为代表元素研究, 没有重量,并且柔软,则只受临段A和 C的拉力T1和T2,每个小段没有纵向运动,纵向合力为零,弦的横向加速度为Utt(二阶导数缩写),由F=ma,小段B的纵向和横向运动方程分别为,其中,线密度,ds为小段弧长,我们仅考虑小的振动,为小量,则忽略高阶小量,(1) (2),7,其中,又,则方程(1)(2)化为,(3) (4),T2=T1张力不随时间变化且相等,另外振动过程中,即长度ds不随时间变化,作用于B段的张力也不变,张力既跟x无关 又跟t无关,故为常数,记为T,则(4)变为,8,由于dx很小,则,则B小段的运动方程成为,(6),由于B的任意性,故
5、上述方程(5)就是弦的振动方程.,对于均匀弦,为常数,(5)可写为,(5),其中,(a就是振动在弦的传播速度-波速),弦的位移是时间t和左边x两个自变量的函数,是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程,反映在Uxx项上.,9,则方程(6)就可修改为,(7),其中,称为力密度,时刻t作用于x处单位,质量上的横向外力,(7)称为受迫振动方程, 而(6)称为自由振动方程.,如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦 所受横向力为F(x,t),则(2)相应修改为,10,(二)、均匀杆的纵振动,要推导的是杆上各点沿杆长方向 的纵向位移U(x,t)所满足的方程.,把杆细分为小段,区间x,x+dx作
6、为 代表来研究,振动过程中,B两端位移,分别记为U(x,t)和U(x+dx,t)=U+dU|t显然,B段的伸长即为dU|t,而相对伸长则为 U(x+dx,t)-U(x,t)/dx=dU|t/dx=Uxdx/dx=Ux,相对伸长Ux随地点不同也不同,在B的两端,相对伸长不同,分别是,Ux|x和Ux|x+dx,如果杆的扬氏模量是Y,由胡克定律得,B两端的张 应力(单位面积两方的作用力)分别是YUx|x和YUx|x+dx,则B方程为,11,其中,为杆的密度,S为横截面积,上式同除Sdx可得,(8),此即为杆的纵向振动方程,对于均匀的杆,Y和,是常数,则(8)可变为,(9),其中,于弦的振动方程(6)
7、完全一样,a也是波速,受迫振动方程跟弦的完全一样,其中F(x,t)是杆单位长度上单位 横截面积所受的纵向外力,12,(三)、传输线方程(电报方程),(四)、均匀薄膜的微小横振动,其中,二维拉普拉斯算符,三维拉普拉斯算符,薄膜受迫振动方程,f(x,y,t)=F(x,y,t)/ 为单位质量上的横向外力,13,(五)、流体力学与声学方程,空气处于平衡位置的压强和密度分别为,且空气密度,相对变化量,振动速度声速,把空气看称没有黏性的理想流体,并是绝热过程,由流体力学 的知识可得声波方程,为空气定压比热与定容比热的比值,14,(六)、电磁波方程,利用电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式,可导出真空中的 电磁
8、波方程:,其中,光速平方,分别为介电常数,导磁率,E,H为真空中电场强度和磁场强度,此方程为矢量方程,15,(七)、扩散方程,物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移,叫扩散,扩散问题,中研究的是浓度U在空间中的分布和在时间中的变化U(x,y,z,t),浓度不均匀的程度可用浓度梯度,表示.,扩散运动的强弱,用扩散流强度q(单位时间通过单位横截面积的物质),扩散现象遵循的扩散定律是,分量形式,负号表示扩散转移方向与浓度梯度相反,D为扩散系数,16,取空间中x与x+dx,y与y+dx, z与z+dx之间的小平行六面 体为代表进行研究,平行六面 体浓度变化取决于穿过表面 的扩散流,先考查单位时间x方向的
9、扩散流,在左表面,流量qx|xdydz,为流入 平行六面体的,在右表面,流量qx|x+dxdydz为流出,由于dx很小,故,流入与流出相抵消之后,单位时间净流入量为,17,同理可得y,z方向的净流入量分别为:,由质量守恒定律,如果六面体里边没有源或汇,则六面体中单位 时间内增加粒子数=单位时间内流入的粒子数,即:,其中,为浓度时间增长率(单位时间六面体单位体积内增加,的粒子数,可以得到三维扩散方程:,18,若扩散系数在空间均匀,则上述方程可简化为:,即,一维扩散方程为:,如果有源或者汇,(1)扩散源的强度(单位时间单位体积产生粒子数)F(x,y,z,t),与浓度U无关,扩散方程相应变为:,19
10、,(2)扩散源的强度与浓度U正比,U235原子核的链式反应使种子增殖,中子浓度的时间变化率 为b2u,比例系数b20,此为有源的情况,一维和三维方程为:,放射性衰变中,粒子浓度按指数规律减少,其中,半衰期 之后,浓度减少为原来一半,则相应的一维和三维扩散方程为:,20,(八)、热传导方程,温度高低不同，热量从温度高的地方向温度低的转移热传导,热传导问题中，研究的是问题在空间中的分布和在时间中的 变化U（x,y,z,t）,温度不均匀的程度可用温度梯度,表示，热传导的强弱,用热流强度q（单位时间通过单位横截面积的热量）,热传导现象遵循热传导定律（傅里叶定律）：,K为热传导系数，仿照扩散问题，可以导
11、出没有汇和源的一维 三维热传导方程：,21,C是比热，,是密度，对于均匀物体，都是常数，方程可写为：,跟扩散方程完全一样。若存在热源，强度为F(x,y,z,t),则：,均匀物体则：,22,(九)、稳定浓度分布,如果扩散源强度F(x,y,z)不随时间变化，扩散运动持续进行下 去，最终将达到稳定状态，空间中各点的浓度不随时间变化， 即Ut0，则方程成为：,泊松方程,若无源，则,拉普拉斯方程,(十)、稳定温度分布,如果热源强度F(x,y,z)不随时间变化，热传导持续进行下 去，最终将达到稳定状态，空间中各点的温度不随时间变化， 即Ut0，则方程成为：,与稳定浓度方程相同,23,(十一)、静电场,静电
12、场是有源无旋场，高斯定理为：,穿过闭合曲面向外的电通量等于闭合曲面所围空间中电量的,倍（真空介电常数）,则：,故,又电场强度E是无旋， 则,即是静电场的基本方程,(十二)、稳恒电流场,均匀导电媒质，则,为常数,拉普拉斯方程,24,(十三)、不可压缩流体的无旋稳恒流动,如果有源或汇的连续性方程为：,F为源或者汇的强度，对于不可压缩流体，密度为常数，则：,若流体无旋，则可化为：,不可压缩流体无旋流动速度满足的泊松方程。,如果流动是恒定的，则与时间无关：,如果没有源或汇，则简化为拉普拉斯方程：,25,(十四)、杆的微小横振动,杆横向变形是，存在切应力，在此力作用下，作横向振动：,Y是杨氏模量，I是转动惯量,为密度,如果单位长度上外加横向力为F（x，t），则：,(十五)、量子力学的薛定谔方程,微观粒子在势场V（x,y,z,t）波函数满足：,不含时间t的定态方程为：,
