《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算 （26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.10 导数的概念及运算 知识梳理 1变化率与导数 (1)平均变化率 (2)导数 2导数的运算 诊断自测 1概念思辨 (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同( ) (2)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( ) (4)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线与过点 P(x0，y0)的切线相 同( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A11P74思考)若函数 f(x)2x21 的图象上一点(1,1) 及邻近一点(1x,1y)，则等于( ) y x A4 B4x C42x D4
2、2(x)2 答案 C 解析 y(1y)1f(1x)f(1)2(1x) 2112(x)24x， 2x4.故选 C. y x (2)(选修 A11P85T7)f(x)cosx 在处的切线的倾斜角为 ( 2，0) _ 答案 3 4 解析 f(x)(cosx)sinx，f1， ( 2) tan1，所以 . 3 4 3小题热身 (1)(2017湖北百所重点高中联考)已知函数 f(x1)，则 2x1 x1 曲线 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为( ) A1 B1 C2 D2 答案 A 解析 f(x1)，故 f(x)，即 f(x)2 ，对 2x11 x1 2x1 x 1 x f(x)求导得 f(x
3、)，则 f(1)1，故所求切线的斜率为 1.故选 A. 1 x2 (2)(2017太原模拟)函数 f(x)xex的图象在点(1，f(1)处的切线 方程是_ 答案 y2exe 解析 f(x)xex，f(1)e，f(x)exxex， f(1)2e，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 ye2e(x1)，即 y2exe. 题型 1 导数的定义及应用 已知函数 f(x)1，则 典例1 3 x 的值为( ) lim x0 f1xf1 x A B. C. D0 1 3 1 3 2 3 用定义法 答案 A 解析 由导数定义， lim x0 f1xf1 x f(1)，而 f(1) . lim x0
4、f1xf1 x 1 3 故选 A. 已知 f(2)2，f(2)3，则 1 的值为 典例2 lim x2 fx3 x2 ( ) A1 B2 C3 D4 用定义法 答案 C 解析 令 x2x，x2x，则原式变为 1f(2)13.故选 C. lim x0 f2xf2 x 方法技巧 由定义求导数的方法及解题思路 1导数定义中，x 在 x0处的增量是相对的，可以是 x，也可 以是 2x，解题时要将分子、分母中的增量统一 2导数定义 f(x0)等价于 lim x0 fx0xfx0 x lim xx0 f(x0) fxfx0 xx0 3求函数 yf(x)在 xx0处的导数的求解步骤： 冲关针对训练 用导数的
5、定义求函数 y在 x1 处的导数 1 x 解 记 f(x)， 1 x 则 yf(1x)f(1)1 1 1x 1 1x 1x 1 1x1 1x 1x1 1x ， x 1x1 1x ， y x 1 1x1 1x . lim x0 y x lim x0 1 1x1 1x 1 2 y|x1 . 1 2 题型 2 导数的计算 求下列函数的导数： 典例 (1)y(x1)(x2)(x3)； (2)y； xx5sinx x2 (3)ysin. x 2(12cos2 x 4) 解 (1)解法一：y(x23x2)(x3)x36x211x6，所以 y3x212x11. 解法二：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x
6、2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2) (x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)(x1)(x2) 3x212x11. 方法技巧方法技巧 导数计算的原则和方法 1原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函 数的和、差、积、商，再求导 2方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，见典例(1)； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简 单的分式函数，再求导，见典例(2)； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和
7、或差的形式，再求 导，见典例(3) 冲关针对训练 1(2017温州月考)已知函数 f(x)的导函数 f(x)，且满足 f(x) 2xf(1)ln x，则 f(1)( ) Ae B1 C1 De 答案 B 解析 f(x)2xf(1)ln x， f(x)2xf(1)(ln x)2f(1) ， 1 x f(1)2f(1)1，即 f(1)1.故选 B. 2求下列函数的导数： (1)y(1)； x ( 1 x1) (2)ycos. (2x 2) 解 (1)y1xx， x 1 xx 1 x y(x)(x) x x. 1 2 1 2 1 2 x(1 1 x) (2)ycossin2x2sinxcosx. (
8、2x 2) y2cos2x2sin2x2(cos2xsin2x)2cos2x. 题型 3 曲线的切线问题 角度 1 求曲线的切线方程 (2017全国卷)曲线 yx2 在点(1,2)处的切线方程 典例 1 x 为_ 已知切点(x0，y0)求导数 f(x0)k 即 可 答案 xy10 解析 y2x，y|x11， 1 x2 即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k1， 切线方程为 y2x1， 即 xy10. 角度 2 求切点坐标(多维探究) (2017石家庄模拟)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平 典例 行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_ 利用方程思想方法 答案 (e，e) 解析 设
9、P(x0，y0)，则 yxln x 的导函数 yln x1，由题意 ln x012，解得 x0e，易求 y0e. 条件探究 试求典例中曲线 yxln x 上与直线 yx 平行的 切线方程 解 设切点为(x0，y0)，因为 yln x1， 所以切线的斜率 kln x01， 由题意知 k1， 得 x0，y0， 1 e2 2 e2 故所求的切线方程为 y，即 e2xe2y10. 2 e2 (x 1 e2) 角度 3 与切线有关的参数问题 (2015 全国卷)已知曲线 yxln x 在点(1,1)处的切 典例 线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a_. 利用方程思想 答案 8 解析 解法一：令
10、f(x)xln x，求导得 f(x)1 ，f(1) 1 x 2，又 f(1)1，所以曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.设直线 y2x1 与曲线 yax2(a2) x1 的切点为 P(x0，y0)，则 y|xx02ax0a22，得 a(2x01) 0，a0 或 x0 ，又 ax (a2)x012x01，即 1 22 0 ax ax020，当 a0 时，显然不满足此方程，x0 ，此时 2 0 1 2 a8. 解法二：令 f(x)xln x，对 f(x)xln x 求导得 f(x) 1 ，f(1)2，所以曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线方程为
11、1 x y2x1.将 y2x1 代入 yax2(a2)x1，得 ax2ax20， 由题意得 a28a0，得 a8(a0 舍去) 方法技巧方法技巧 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 1求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的 切线，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0) f(x0)(xx0)；求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0，f(x0)，则切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0. 2已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数， 然后让导数等于切线的斜
12、率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代 入函数解析式求出切点的纵坐标 3根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解 提醒：求曲线 yf(x)过点 P(x0，y0)的切线方程时，点 P(x0，y0) 不一定是切点 冲关针对训练 1(2017陕西五校联考)已知直线 yxm 是曲线 yx23ln x 的一条切线，则 m 的值为( ) A0 B2 C1 D3 答案 B 解析 因为直线 yxm 是曲线 yx23ln x 的切线，所以 令 y2x 1，得 x1 或 x (舍)，即切点为(1,1)，又切 3 x 3 2 点(1,1)在直线 yxm 上，所
13、以 m2.故选 B. 2已知曲线 y x3 . 1 3 4 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程 解 (1)yx2， ky|x24， 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 4xy40. (2)设曲线与过点 P(2,4)的切线相切于点 A，则 (x0， 1 3x3 0 4 3) ky|xx0x . 2 0 切线方程为 yx x x . 2 0 2 3 3 0 4 3 又P(2,4)在切线上， 42x x ， 2 0 2 3 3 0 4 3 即 x 3x 40. 3 02 0 x x 4x 40， 3 02 02 0 (x01)(x02)20， x01，x02. 故所求切线为 4xy40 或 xy20. (3)设切点为(x0，y0)，则 kx 1， 2 0 x01，故切点为，(1,1)， (1， 5 3) 所求切线方程为 3x3y20 和 xy20. 题型 4 导数的几何意义的应用 (2017资阳期末)若对x0，)，不等式 2axex1 典例1 恒成立，则实数 a 的最大值是( ) A. B. C1 D2 1 2 1 4 数形结合法 答案 A 解析 对x0，)，不等式 2axex1 恒成立， 设 y2ax，yex1，其中 x
