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1、85椭圆知识梳理1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数注：当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形续表3直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2BxC0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为：(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)b0)上任意一点P(x，
2、y)，则当x0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处(2)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.诊断自测1概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0且mn)表示的曲线是椭圆()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A11P35例3)已知椭圆的方程是1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1
3、F28，弦AB过点F1，则ABF2的周长为()A10 B20 C2 D4答案D解析因为a5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a22542，解得a.由椭圆的定义知ABF2的周长为4a4.故选D.(2)(选修A11P42A组T6)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，P点坐标为或.3小题热身(1)(2014大纲卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离
4、心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，故选A.(2)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由已知得直线y(xc)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以MF1F260，则MF2F130，F1MF290，则MF1c，MF2c，由点M在椭圆上知：cc2a，故e1.题型1椭圆的定义及应用已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P
5、到另一个焦点F2的距离为()A2 B3 C5 D7应用椭圆的定义答案D解析根据椭圆的定义|PF1|PF2|2a10，得|PF2|7，故选D.条件探究若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且|OM|3”，求点P到椭圆左焦点的距离？解由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得|PF2|6，再利用椭圆定义易知|PF1|4.(2018漳浦县校级月考)椭圆y21上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形(1)求的最大值与最小值；(2)设F1PF2，求证：SF1PF2tan. (1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明解
6、(1)设P(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x22，x20,4，x222,1的最大值为1，最小值为2.(2)证明：由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，设F1PF2，在F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos)，可得4c24a22|PF1|PF2|(1cos)|PF1|PF2|，即有F1PF2的面积S|PF1|PF2|sinF1PF2b2b2tantan.方法技巧椭圆定义的应用技巧1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点
7、与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等2通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题见典例2.冲关针对训练1已知A，B是圆2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_答案x2y21解析如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2.所以|PA|PF|2且|PA|PF|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c，b2.所以动点P的轨迹方程为x2y21.2已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)顶点B在椭圆1上，则_.答案解析由题意知，A，C为椭圆的两焦点，由正弦定理，得.
8、题型2椭圆的标准方程及应用(2018湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2为它的两个焦点，离心率为，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论答案1或1解析由椭圆的定义及ABF2的周长知4a16，则a4，又，所以ca2，所以b2a2c21688.当焦点在x轴上时，椭圆C的方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆C的方程为1.综上可知，椭圆C的方程为1或1.(2017江西模拟)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且焦距为2，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|a，且|PF1|，
9、|F1F2|，|PF2|成等比数列，求椭圆的方程用待定系数法，根据已知列出方程组解设P(x，y)，则|OP|2x2y2，由椭圆定义，|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，又2c2，c，a28，b25.所求椭圆的方程为1.方法技巧求椭圆标准方程的步骤1判断椭圆焦点位置2设出椭圆方程3根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a2b2c2的应用
10、4根据焦点写出椭圆方程见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)可简记为“先定型，再定量”冲关针对训练已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.P为椭圆上的一点，PF1与y轴相交于M，且M为PF1的中点，SPF1F2.求椭圆的方程解设P(x0，y0)M为PF1的中点，O为F1F2的中点x0c，y0.PF2y轴，PF1F2是PF2F190的直角三角形，由题意得，解得所求椭圆的方程为y21.题型3椭圆的几何性质(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一
11、点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.用方程思想A，M，E三点共线，B，N，M三点共线答案A解析由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为yk(xa)，当xc时，yk(ac)，当x0时，yka，所以M(c，k(ac)，E(0，ka)如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBNkBM，即，所以，即a3c，所以e.故选A.F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_由F1PF290，求出x后，利用x0，a2
12、求解答案解析设P(x0，y0)为椭圆上一点，则1.(cx0，y0)，(cx0，y0)，若F1PF290，则xyc20.xb2c2，x.0xa2，01.b2c2，a22c2，e1.条件探究将典例2中条件“F1PF290”改为“F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围解椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc，如图，由bc，得a2c2c2，即a2，又0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，有2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已
