《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第4章平面向量 4.3 平面向量的数量积及其应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第4章平面向量 4.3 平面向量的数量积及其应用 （39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、43平面向量的数量积及其应用知识梳理1两个向量的夹角2平面向量的数量积3平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或
2、|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos.特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别(2)对于两个非零向量a与b，由于当0时，ab0，所以ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；ab0也不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.(3)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，若abbc(b0)，则ac.但对于向量a，b却有
3、|ab|a|b|；若abbc(b0)，则ac不一定成立例如ab|a|b|cos，当cos0时，a与c不一定相等又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故abbc，但ac.(4)两个向量的数量积是一个实数0a0(实数)而0a0.(5)数量积不满足结合律(ab)ca(bc)(6)ab中的“”不能省略诊断自测1概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，AB|A|B|cosB.()答案(1)(2)(3)(4)2教
4、材衍化(1)(必修A4 P108T3)已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12 B6 C3 D3答案B解析ab12|a|b|cos135，解得|b|6.故选B.(2)(必修A4 P104例1)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos4cos1202.3小题热身(1)(2017包头质检)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析cosABC，所以ABC30.故选A.(2)已知向量a，b的夹角为60，|a|2, |b|1，则|a2b|_.答案2解析由题意知
5、ab|a|b|cos60211，则|a2b|2(a2b)2|a|24|b|24ab44412.所以|a2b|2.题型1平面向量数量积的运算角度1求数量积已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B. C. D.本题可采用向量基底法、坐标法答案B解析解法一：如图，()211cos6012.故选B.解法二：建立平面直角坐标系，如图则B，C，A，所以(1,0)易知DEAC，则EFAC，因为FEC60，所以点F的坐标为，所以，所以(1,0).故选B.方法技巧求两个向量的数量积的两种方法1利用定义2利用向量的坐标运算如典例冲
6、关针对训练1若菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.答案C解析以，为基向量，则()()22(1)4()2(1)1.(1)(1)2(1)(1)，由可得.故选C.2已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案2解析解法一：()2222222.解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，(1,2)，(2,2)，则(1,2)(2,2)1(2)222.角度2平面向量的夹角与垂直问题若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)
7、，则a与b的夹角为()A. B. C. D本题采用定义法答案A解析(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)03|a|2ab2|b|203|a|2|a|b|cosa，b2|b|20.又|a|b|，|b|2|b|2cosa，b2|b|20.cosa，b.a，b0，a，b.选A.平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A. 2 B. 1 C. 1 D. 2本题采用坐标法、方程思想答案D解析a(1,2)，b(4,2)，则cmab(m4,2m2)，|a|，|b|2，ac5m8，bc8m20.c与a的夹角等于c与b的夹角，解得m2.故选D.(2018
8、邢台模拟)已知ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则的取值范围为()A2,18) B.C. D(2,93)本题采用转化思想、向量法、余弦定理答案C解析由题意可得abc6，且b2ac，b，从而0b2.再由|ac|b，得(ac)2b2，(ac)24acb2，(6b)24b20.又b0，解得b，b2，cosB，accosB(b3)227，则2.故选C.方法技巧求平面向量的夹角的方法1定义法：利用向量数量积的定义知，cos，其中两个向量的夹角的范围为0，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系如典例2.2坐标法：若a(x1，y1)，b(
9、x2，y2)，则cos.3解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解如典例3.冲关针对训练1若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.答案B解析作ABCD，使a，b，则ab，ab，由|ab|ab|，知ABCD为矩形又|ab|2|a|，所以CAB.故选B.2已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_答案解析，0，()0，即()()220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)|cos120940，解得.角度3求向量的模(或最值、范围)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，
10、且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7 C8 D9本题采用三角函数法、不等式法答案B解析解法一：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos，sin)，(cos2，sin)，(cos6，sin)，|7，当且仅当cos1时取等号，此时B(1,0)，故|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得2(O为坐标原点)，又，|3|3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(1,0)，故|max7.故选B.方法技巧求向量模及最值(范围)的方法1代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；见典例答案解法一2几何法(数
11、形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；见典例答案解法二3利用绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|求模的取值范围见典例答案解法二冲关针对训练已知向量a，b，c，满足|a|2，|b|ab3，若(c2a)0，则|bc|的最小值是()A2 B2 C1 D2答案A解析根据条件，设a(1, )，b(3,0)，设c(x，y)，则(c2a)(x2，y2)(x2，y)0；(x2)2(y)23；c的终点在以(2，)为圆心，为半径的圆上，如图所示：|bc|的最小值为2.故选A.角度4求参数的取值在ABC中，已知(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，则实数k的值为_本题采用方
12、程思想，并依据直角的位置可分三种情形讨论答案或或解析若A90，则有0，即23k0，解得k.若B90，则有0，因为(1，k3)，所以23(k3)0，解得k.若C90，则有0，即1k(k3)0，解得k.综上所述，得k或或.方法技巧平面向量中的参数及范围的求法1利用方程思想，由已知列出方程或方程组，进而求解如典例2利用等价转化思想将已知转化为不等式或函数，求出参数的取值如冲关针对训练冲关针对训练设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1
