《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第11章算法、复数、推理与证明 11.2 数系的扩充与复数的引入 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第11章算法、复数、推理与证明 11.2 数系的扩充与复数的引入 （17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.2 数系的扩充与复数的引入 知识梳理 1复数的有关概念 2复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数 集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对 应的，即 (1)复数 zabi复平面内的点 Z(a，b) (a，bR) (2)复数 zabi(a，bR) 平面向量. OZ 3复数代数形式的四则运算 (1)运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) (3)复数乘法的运算定律 复数的
2、乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3) z1z2z1z3. (4)复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义：若复数 z1，z2对应的向量，不 OZ1 OZ2 共线，则复数 z1z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线 OZ1 OZ2 所对应的复数 OZ 复数减法的几何意义：复数 z1z2是所对应 OZ1 OZ2 Z2Z1 的复数 4模的运算性质：|z|2| |2z ；|z1z2|z1|z2|； zz | z1 z2| . |z1| |z2| 诊断自测 1概念思辨 (1)关于 x 的方程 ax2bx
3、c0(a，b，cR 且 a0)一定有两 个根( ) (2)若复数 abi 中 a0，则此复数必是纯虚数( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离， 也就是复数对应的向量的模( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A12P63A 组 T1(3)在复平面内，复数 z(i 为虚数 1 2i 单位)对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 z i，其对应的点为，在 1 2i 2i 2i2i 2 5 1 5 ( 2 5， 1 5) 第四象限故选 D.
4、(2)(选修 A12P61A 组 T3)在复平面内，复数 65i，23i 对 应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( ) A48i B82i C24i D4i 答案 C 解析 A(6,5)，B(2,3)，线段 AB 的中点 C(2,4)，则点 C 对应的复数为 z24i.故选 C. 3小题热身 (1)(2017全国卷)( ) 3i 1i A12i B12i C2i D2i 答案 D 解析 2i.故选 D. 3i 1i 3i1i 1i1i 42i 2 (2)(2015全国卷)设复数 z 满足i，则|z|( ) 1z 1z A1 B. C. D2 23 答案
5、A 解析 由已知i，可得 1z 1z zi，|z|i|1，故选 A. i1 i1 i12 i1i1 2i 2 题型 1 复数的有关概念 已知 x，y 为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求 典例 x，y. 复数问题实数化 解 设 xabi(a，bR)， 则 yabi，xy2a，xya2b2， 代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i， 根据复数相等得Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Error! 故所求复数为Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Er
6、ror! 方法技巧 有关复数的基本概念问题的关键 因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部 有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和 虚部，即转化为 abi(a，bR)的形式，再从定义出发，把复数问 题转化成实数问题来处理见典例 冲关针对训练 (2018山西四校联考)i 是虚数单位，若abi(a，bR)， 2i 1i 则 lg (ab)的值是( ) A2 B1 C0 D. 1 2 答案 C 解析 因为 ，所以 2i 1i 2i1i 2 3 2 i 2 a ，b ，ab1，所以 lg (ab)0，故选 C. 3 2 1 2 题型 2 复数的几何意义 (2016全国
7、卷)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内 典例1 对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( ) A(3,1) B(1,3) C(1，) D(，3) 根据复数 zabi(a，bR)的几何 意义，写出不等式求解 答案 A 解析 由已知可得Error!Error!Error!Error!30； (2)若 是复数 z 的共轭复数，则 D( )D(z)恒成立； zz (3)若 D(z1)D(z2)(z1，z2C)，则 z1z2； (4)对任意 z1，z2，z3C，结论 D(z1，z3)D(z1，z2)D(z2，z3) 恒成立 其中真命题为( ) A(1)(2)(3)(4) B(2)(3)(4)
8、C(2)(4) D(2)(3) 答案 C 解析 对于(1)，由定义知当 z0 时，D(z)0，故(1)错误，排 除 A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以 D( )D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的 z 绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也 不一定相等，故(3)错误，排除 B，D，故选 C. 二、填空题 11(2017江苏高考)已知复数 z(1i)(12i)，其中 i 是虚数 单位，则 z 的模是_ 答案 10 解析 解法一：z(1i)(12i)12ii213i， |z|. 123210 解法二：|z|1i|12i| .
9、 2510 12(2016天津高考)已知 a，bR，i 是虚数单位若(1i) (1bi)a，则 的值为_ a b 答案 2 解析 由(1i)(1bi)a 得 1b(1b)ia，则Error!Error!解得 Error!Error!所以 2. a b 13(2016北京高考)设 aR.若复数(1i)(ai)在复平面内对应 的点位于实轴上，则 a_. 答案 1 解析 (1i)(ai)(a1)(a1)i， aR，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， a10，a1. 14若虚数 z 同时满足下列两个条件：z 是实数；z3 5 z 的实部与虚部互为相反数则 z_. 答案 12i 或2i 解析 设 za
10、bi(a，bR，b0)， 则 z abi 5 z 5 abi abi. (1 5 a2b2) (1 5 a2b2) 又 z3a3bi 实部与虚部互为相反数，z 是实数，根据 5 z 题意有Error!Error! 因为 b0，所以Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error! 所以 z12i 或 z2i. 三、解答题 15(2017徐汇区校级模拟)已知 z 是复数，z2i 与均为实 z 2i 数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应点在第一象限 (1)求 z 的值； (2)求实数 a 的取值范围 解 (1)设 zxyi(x，yR)， 又 z2ix(
11、y2)i 为实数，y20，解得 y2. ， z 2i x2i 2i x2i2i 2i2i 2x2x4i 5 为实数，0，解得 x4. z 2i x4 5 z42i. (2)复数(zai)24(a2)i216(a2)28(a2) i(124aa2)(8a16)i， Error!Error!解得 2a6， 即实数 a 的取值范围是(2,6) 16(2017孝感期末)已知复数 z(m1)(2m1)i(mR) (1)若 z 为纯虚数，求实数 m 的值； (2)若 z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数 m 的取值范 围及|z|的最小值 解 (1)z(m1)(2m1)i(mR)为纯虚数， m10 且 2m10，m1. (2)z 在复平面内的对应点为(m1,2m1) 由题意得Error!Error! m1， 1 2 即实数 m 的取值范围是. ( 1 2，1) 而|z|， m122m125m22m2 5(m1 5)2 9 5 当 m 时，|z|min. 1 5 ( 1 2，1) 9 5 3 5 5
