《数列通项公式的求法与数列求和方法精讲与练习(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式的求法与数列求和方法精讲与练习(含答案)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列的通项公式的求法1、 观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，.2、 公式法若已知数列的前n项和与项数n的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。例2：的前n项和，求的通项公式。3、 由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。1. 迭加法 已知递推关系例3 已知数列满足，求数列的通项公式。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。2. 迭乘法已知递推关系是例4：已知数列中，求的通项
2、公式。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。3、待定系数法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。变式： 已知数列满足，求数列的通项公式。4、数学归纳法例6已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。数列求和（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求
3、和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法： 3错位相减法：比如4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； ； ；。5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合并求和法：如求的和。7倒序相加法：8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；（三）例题分析：例1求和：求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n项和思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：（1）当时，（2）当总结：运用等比数列前n项和公
4、式时，要注意公比讨论。2错位相减法求和例2已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解：当当3.裂项相消法求和例3.求和解:练习:求 答案:4.倒序相加法求和例4求证：思路分析：由可用倒序相加法求和。证：令则 等式成立5其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5已知数列。思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：，若若练习：已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小。解：可求得，n为正偶数，（四）、小结：1掌握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时注意分讨论。同步练习：数列的通项公式与求和练习1练习
5、2练习3练习4练习5练习6练习7练习8 等比数列的前项和S2，则练习9 求和：5，55，555，5555，；练习10 求和：练习11 求和：练习12 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和 答案练习1答案：练习2 证明： (1) 注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以S(n)/n是等比数列
6、(2) 由(1)知，S(n)/n是以1为首项，2为公比的等比数列。 所以S(n)/n=1*2(n-1)=2(n-1) 即S(n)=n*2(n-1) (*) 代入a(n+1)S(n)*(n+2)/n得 a(n+1)=(n+2)*2(n-1) (n属于N) 即a(n)=(n+1)*2(n-2) (n属于N且n1) 又当n=1时上式也成立 所以a(n)=(n+1)*2(n-2) (n属于N) 由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2n =(n+1)*2(n-2)*22 =(n+1)*2(n-2)*4 对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n练习3 答案：1)a1=S1=1/3(a1-1)a1=-
7、1/2a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/23a2=a2-1+3/22a2=1/2a2=1/42)3Sn=an-13S(n-1)=a(n-1)-1相减：3an=an-a(n-1)2an=-a(n-1)an/a(n-1)=-1/2所以an为等比数列！练习4 累加法，答案：练习5 累乘法，答案：练习6 待定系数法，答案：练习7 倒数法，答案：练习8 公式法，答案：练习9 答案：练习10 ，列项相消法，答案练习11，,列项相消法 1/(1+2+3+n)=1/n(n+1)/2=2/n(n+1)所以原式=1+2/2*3+2/3*4+2/n(n+1)=1+2*(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/n-1/(n+1)=1+2*1/2-1/(n+1)=2-2/(n+1)练习12 （错位相减法）答案：解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得，
