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1、第五章 概率与概率分布,学习目标 知识目标： 理解随机事件与概率的意义，掌握事件的关系与运算，能应用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等计算随机事件的概率；理解随机变量及其分布的意义，掌握二项分布、泊松分布、正态分布等主要的随机变量分布的性质与应用。 能力目标： 要熟练地学会查概率分布表，熟记正态分布的几个常用概率；能够应用随机变量和概率理论解决简单的实际问题。,第五章 概率与概率分布,第一节 随机事件与样本空间 第二节 事件的概率与古典概型 第三节 条件概率与事件的独立性 第四节 随机变量及其分布 第五节 EXCEL在概率分布中的应用,第五章 概率与概率分布,第一节 随机事件与
2、样本空间 一、样本空间 二、随机事件 三、事件的关系与运算,第五章 概率与概率分布,一、样本空间 随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。一个试验中所有基本事件的全体称为样本空间，通常用字母表示。中的点，即基本事件，有时也称为样本点，常用小写字母表示。 那么，什么是随机试验呢？我们认为，一个试验如果具有下述特点或者说满足以下条件，就称为随机试验： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果是明确可知道的； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。,第五章 概率与概率分布,例5.1掷一枚
3、骰子，其点数为1,2,6,观察出现的点数。令i=出现的点数,则=1,2,6。 例5.2 观察流水生产线上的产品是合格品还是不合格品，令1=合格品， 2=不合格品,则=1,2。 例5.3计算某电话站总机在单位时间内收到的呼叫次数，令次呼叫（1，2，)则 =k:0,1,2,。 例 5.4 测量某地的气温，我们自然把样本空间取为 =(-，+)或 =(a，b)。,第五章 概率与概率分布,二、 随机事件 有了样本空间的概念，就可以定义随机事件了。在随机试验中，人们关心的是带有某些特征的事件是否发生。如在例5.1中，我们可以讨论： A=出现的点数=5 B=出现的点数是1、3、5 C=出现的点数是3、4、5
4、、6 D=出现的点数1 E=出现的点数是2、4、6 等等，这些结果是否发生？其中A是一个基本事件，而B、C、E则是由多个基本事件所组成，相对于基本事件，就称它们是复合事件。无论是基本事件还是复合事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都称为随机事件，简称为事件。一般常用大写字母A,B,C 等表示事件。 简而言之，随机事件就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。或者说在一定条件下并不总是出现相同结果的事件。,第五章 概率与概率分布,我们已经知道样本空间包含了所有基本事件，而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来说，一个随机事件不过是样本空间的一个子集而已。在试验
5、中，如果出现A中所包含的某一基本事件，则称作A发生。并记为A 。 我们把样本空间也作为一个事件，因为在每次试验中，必然要出现中的某一基本事件，即，也就是在试验中， 必然发生，所以常称为必然事件。 类似地，在每次试验中必然不发生的事件就称为不可能事件，用符号 表示。上面的D就是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事件。但为了今后研究的方便，我们还是把必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形来统一处理。 在例5.1的讨论中，随机事件A、B、C、D、E都是的子集，可以简单地表示为A=5,B=1,3,5,C=3,4,5,6，E=2,4,6而D
6、=，是不可能事件。,第五章 概率与概率分布,三、事件的关系与运算 1包含关系。如果事件A发生必然导致事件B发生，或者事件A的每一个样本点都包含在事件B中，则称事件B包含事件A，或称事件A含于事件B，记作或AB或B A。 若AB且BA ，则称A与B相等，记为A=B。 如例5.1的讨论中， ，又如对任一事件，有A 。,第五章 概率与概率分布,2事件的并。事件A和事件中至少有一个发生的事件称为事件与事件的并，也称为事件与事件的和，记为AB，或。如 例 5.1 中， BC1,3,4,5,6。 类似地，n个事件，A1、A2 、An的和记为 ，表示n个事件A1、A2 、An 中至少有一个发生的事件。由事件
7、和的定义，对于任一事件，有A 。,第五章 概率与概率分布,3事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交。也称为事件与事件的积，记为BA 或AB 。如在例5.1中， B=3,5。 类似地，n个事件A1、A2 、An的交记为 ，表示n个事件A1、A2 、An同时发生的事件。由事件积的定义，对于任一事件A，有A=A, A= 。,第五章 概率与概率分布,4互斥事件。如果两个事件A与B不可能同时发生,则称事件与事件B为互斥事件。否则称这两个事件是相容的。显然,事件A与事件B互斥的充分必要条件是AE = 。如例5.1的讨论中，AE = , BE= 。A与E互斥，B与E互斥。 如果A1、A2 、An
8、中的任意两个事件是互斥的，则称A1、A2 、An互斥。,第五章 概率与概率分布,5对立事件。对于事件A、B，若 AB= 且AB=，则称事件B为事件A的对立事件，或称事件B为事件A的为逆事件。对立事件是相互的，一般A的逆事件记为 。,第五章 概率与概率分布,6事件的差。事件A发生，但事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为。AB，显然对于任一事件A， A。,第五章 概率与概率分布,可以验证一般事件的运算满足如下关系： (1)交换律： AB BA, AB = BA ； (2)结合律： A()(AB)C；A(BC) (AB )C。 (3) 分配律： A()(AB )(AC)； A()(AB
9、)(AC)。 分配律可以推广到有限或可列无穷的情形，即： ， ； （4）对于有限个或可列无穷个，恒有： ， 。,第五章 概率与概率分布,第二节 事件的概率与古典概型 一、概率的统计定义 二、概率的性质 三、古典概型试验与古典概率的计算,第五章 概率与概率分布,一、概率的统计定义 在相同条件下随机试验n次，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则nA称为事件A发生的频数。比值Fn(A)= nA/n称为事件发生的频率。显然，频率在一定程度上反映了事件A发生可能性的大小。一般来说，当随着试验次数n增大时，事件A发生的频率总是稳定在某一常数p的附近,也就是说，随着试验次数n的增大，频率Fn(A)= nA
10、/n将围绕常数p上下波动，并且其波动的幅度随n的增大而减小，趋向于稳定。这个频率的稳定值p，人们称为事件A的概率，记为p(A)=p。 为了验证频率的稳定性，历史上，曾有不少人做过“掷硬币”的试验，其中有德摩根、蒲丰、卡皮尔逊等人，下表是他们的试验结果。,第五章 概率与概率分布,频率稳定性实验表 从上表的数据不难看出，随着试验次数n的不断增大，频率nA/n围绕常数p=0.5这个值上下波动，且趋向于稳定。,第五章 概率与概率分布,【补充例子5.1】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该
11、厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有：,第五章 概率与概率分布,二、概率的性质 相比之下，频率相对浅显一些，概率则要深邃许多。但不难理解频率是概率的一个近似，频率的本质就是概率。显然，频率具有下述基本性质： 1. 非负性：即Fn(A)= nA/n ； 2. 规范性：即若是必然事件，则Fn( )=1，因此对任意事件A， 0Fn(A )1。 3. 有限可加性：即若A、B事件互斥（AB=），则 Fn(A+B )= Fn(A )+ Fn(B) 频率的这三条基本性质和其他性质，是概率所应该具有的。设
12、随机试验的样本空间为，随机事件为A，则有： 1.非负性：对任意事件A，p(A) ； 2.规范性：p( )=1，因此对任意事件A， 0p(A )1； 3.完全可加性：若可列无穷个事件A1，A2，互斥，则有,第五章 概率与概率分布,特别地，若事件A、B互斥，则 P(A+B) P(A)+ P(B) 称为概率的加法公式。 4. P()=0 ； 5.设事件A、B,若AB,则有P(B-A)P(B)-P(A),且P(B) P(A)； 6.设事件A，则有p()=1-p(A)，称为对立事件的概率公式； 7.设任意事件A、B，则有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，称为广义的加法公式。 例5.5 设事件
13、A与B的概率分别为1/3和2/3，已知（1）A与B互斥；（2）AB ；（3） P(AB)=1/6,求： 。 解：（1）因为A与B互斥， B ，因此B =B，所以 p(B)=p(B)=2/3 （2）因为AB， B=(-A)B=B-AB=B-A，所以： P(B)= P(B-AB)= P(B)- P(A)=2/31/3=1/3 （3）因为 B=B-AB，ABB所以：。 P(B) =p(B-AB)=p(B)-p(AB)=2/3-1/6=1/2,第五章 概率与概率分布,例5.6 某企业职工中有35的人购买了国库券，有20的人购买了股票，有25的人既买了国库券又买了股票，求职工中任意抽取的一人至少买国库券
14、和股票中的一种的概率是多少？他既没有买国库券又没有买股票的概率是多少？ 解：设A表示“购买国库券”的事件，B表示“购买股票”的事件。那么AB就表示“即买了国库券又买了股票”的事件， 就是“即没有买国库券又没有买股票”的事件。已知p(A)=35,p(B)=20，p(AB)=25 由广义加法公式，得到： P(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=35+20-25=30 1-p(A+B)=1-30%=70%,第五章 概率与概率分布,三、古典概型试验与古典概率的计算 有一类最简单的随机试验，它具有下述特征： （1）样本空间只含有有限个样本点,不妨设为 ,2, n ； （2）每个样本点发生的可能性是
15、相等的，即p()= p(2)= p(n)。 通常称这种数学模型为古典概型。它在概率论中有很重要的地位。一方面,因为它比较简单,许多概念既直观又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用。 例5.7某夫妇生了一对双胞胎，观察双胞胎老大和老二的性别。这属于古典概型试验,样本空间包含4个样本点,即： (男、男),(女、女),(男、女),(女、男)。 并且这四类双胞胎的每一类出生的机会都是一样的，也就是1/4的概率。对于古典概型，设样本空间基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为nA （称为有利事件数），那么事件A的概率p(A)= nA/n称为古典概率。,第五章 概率与概率分布,例5.8 按照国家对少数民族的生育政策，某家庭可以生两胎。假设他们每胎只生一个孩子，试求下列事件的概率：（1）两胎全是女孩的概率；（2）两胎中至少有一胎是女孩的概率。 解：样本空间=(男、男),(男、女),(女、女),（女、男） （1）令事件A=两胎全是女孩，显然n=4，nA=1，故p(A)nA/n=1/4。 （2）令事件B=两胎中至少有一胎是女孩，易知n=4，nb =3，所以 P(B)=3/4。 我们还
