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1、必修1第一章集合与函数第1讲 1.1.1 集合的含义与表示学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. (1)确定性：元素的确定性既是判断一组对象是否能构成集合的标准，也是判断元素与集合之间关系的重要依据 (2)互异性：集合中任意两个元素都是互不相同的，即若存在集合a，b，则必有ab。在解决集合中元素的相关问题时，必须
2、要检验集合中的元素是否满足互异性 (3)无序性：集合中的元素与其排列的位置无关如a，b，c，b，a，c，c，b，a表示的都是同一个集合. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别
3、用符号、表示，例如，.例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：； 用列举法表示为.（2）用描述法表示为：； 用列举法表示为.【例2】用适当的符号填空：已知，则有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4）（1）一次函数与的图象的交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合；（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.解：（1）.（2）.（3）.点评：以上代表元素，分别
4、是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合，试用列举法表示集合A解：化分式方程为整式方程：（x）要方程有唯一实数解，只能=0，得，此时的解为满足题意所以，则A=点评： 注意分式方程易造成增根的现象.基础练习：1.由下列对象组成的集体2017年5月1日前与中国建交的所有国家;课本中所有的难题;嘉陵江中的大鱼;古今中外著名的小说家;某校高一年级期中考试数学成绩高于120分的学生;所有的正方形.其中，可以构成集合的组数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. M
5、=xN+|-x,则下列说法正确的是（ ）A. M= B.M C. M是有限集 D. 1M3.方程组的解的集合是（ ）A. x=2,y=1 B. 2,1 C. 1,2 D. (2,1)4. 若A=0,m,m2-3m+2,且2A,则m=（ ）A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 0、2或35. (重点)已知集合M=a,b,c中的三个元素可构成某一三角形的三边长,那么此三角形一定不是( )A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形6.定义集合运算：A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1,2,B=0,2,则A*B中所有元素之和为（ ）A. 0 B. 2 C. 3 D.
6、 67. A=-2,2,3,B=x|x=t2,tA,用列举法表示集合B=.8. 集合A=xy=,xN,yZ,则A=.9.对任意m,nN+，定义某个运算：mn=,则集合P=(a,b)|ab=8,a、bN+中元素的个数是.10.已知集合a, ,1也可表示为a2,a+b,0,则a2+b=.11. 设A=a2+2a-3,2,3,B=2,|a+3|,已知5A,且5B,求a的值.来源:Z#xx#k.Com来源:Z*xx*k.Com来源:学科网ZXXK12.已知A=x|ax2+2x+1=0，xR.（1）若A中有且只有一个元素，求a的值;（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.（3）若A中至少有一个元素，
7、求a的取值范围.（4）若A=，求a的取值范围.综合能力拓展：1已知a，b，c是ABC的三边长，若由a，b，c构成的集合S只含有两个元素，则该三角形一定是 ( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D锐角三角形2已知集合A=1，2，4，则集合B=(x，y)|xA，yA中元素的个数为 ( ) A3 B6 C8 D93设集合A=1，2，3，4，BA，2B，则满足条件的集合B的个数为 ( ) A16 B15 C8 D74若集合A=（1，2），（3，-1），则集合A中元素的个数为_5设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k-1A且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”给定S=1，2，3，4，
8、5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个6已知集合A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1 (1)若BA，求实数m的取值范围； (2)若不存在x使得xA与xB同时成立，求实数m的取值范围高考动向追踪：1. 该部分的考点主要有两个：一是集合中元素的互异性，该考点渗透在集合的每一个考题中，尤其是新定义集合问题；三是集合之间的关系，即判断两个集合之间的关系或根据集合之间的关系求解参数的取值范围2(1)解决集合之间的关系问题时，应灵活利用韦恩图或数轴表示相关集合，根据图形的直观性确定相应的条件进行求解，这是数形结合思想在集合中的应用(2)新定义集合问题多以其他模块
9、的知识为背景，重点考查对新定义集合的理解，主要涉及集合中元素的互异性与元素与集合之间的关系，解决此类问题的关键是利用所学知识，结合集合的性质将其转化为熟知的问题，根据定义的规则求解1已知集合A=0，1，2，则集合B=x-y|xA，yA中元素的个数是( )A1 B3 C5 D9 2若集合A=xR|ax2+ax+1=0中有且只有一个元素，则a= ( ) A4 B. 2 C0 D0或4 3已知集合A=x|x2-3x+2=0，xR，B=x|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为 ( ) A1 B2 C. 3 D44集合-1，0，1共有_个子集5. 已知集合A=1，a，B=1，2，3，若AB，则
10、a=_.6已知集合a，b，c=0，1，2，且下列三个关系：a2；b=2；c0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于_.第2讲 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合
11、A与集合B相等，记作. 3. 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：；若，则； 若，则；若，则.6、理解子集、真子集概念的注意点 (1)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B的部分元素组成的，有以下三种情况：A是空集；A是由B的部分元素组成的集合；A是由B的全部元素组成的集合 (2)若AB，则集合A、B的关系可细分为“真子集”、“相等”两种：若AB，且至少存在一个元素bB，bA，则AB；若AB，且BA，则A=B，7、辨清
12、两大关系 (1)元素与集合的关系：给出一个元素与给定的集合之间只有“属于”、“不属于”两种关系，分别用“”和“”表示，体现的是“个体与集体的关系” (2)集合与集合之间的关系：给定两个集合，它们之间的关系有“子集关系”、“非子集关系”两种，分别用符号“”和“”表示，体现的是“集体与集体的关系”.8子集、真子集的相关结论 (1)任何集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集；空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集对于含参集合A，若AB，则需考虑A=和A两种情况，解题时应特别注意 (2)对于含有n个元素的有限集合，它的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集
13、个数为2n-2.例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）x|x是菱形 x|x是平行四边形；x|x是等腰三角形 x|x是等边三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.解：简单列举两个集合的一些元素，易知BA，故答案选A另解：由，易知BA，故答案选A【例3】若集合，且，求实数的值.解：由，因此，.（i）若时，得，此时，；（ii）若时，得. 若,满足，解得.故所求实数的值为或或.点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“” ，因为时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若A=B，求实数x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0.因为a0，所以2x2-x-
