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1、第一讲 椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫作
2、椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距特征式：注：若，则点的轨迹是线段的垂直平分线；若，则这样的点不存在（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率特征式：（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：；（焦点在轴的平行线上，中心在的椭圆方程）（焦点在轴的平行线上，中心在的椭圆方程）（2）椭圆的参数方程：；注：角不是（3）椭圆的向量式方程：（三）性质：对于椭圆而言，范围：，椭圆落在组成的矩形中对称性：图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭
3、圆的对称轴顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点，；加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴，长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长离心率：椭圆焦距与长轴长之比注：椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例；，椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线；对于，下准线；上准线焦准距：焦点到准线的距离（焦参数）通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为 焦半径公式：焦点在轴上的椭圆的焦半径公式： （左焦半径）；（右焦半径）；焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（下焦半径）；（上焦半径）；（规律
4、：左加右减，上减下加）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；（如何证明？）（四）椭圆系方程（焦点在轴的上，中心在原点）（1）共焦点的椭圆系：注：若，则表示共焦点的双曲线系（2）离心率相同的椭圆系：注：若，则表示共渐进线的双曲线系三、精典例析（一）活用定义例1：椭圆上有一点它到椭圆的左准线距离为10，求点到椭圆的右焦点的距离解析：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点到椭圆的左焦点距离为：；再根据椭圆的第一定义得，点到椭圆的右焦点的距离为20812 例2：方程表示什么曲线？解析：设，则原方程等价于：，即：到定点的距离与它到定直线的距离之比为，故原方程表示以定点为焦点，以定直
5、线为准线的椭圆例3：定点是的焦点，是曲线上的动点DP（1）求的范围；P1AH（2）求的最小值P212解析：是的焦点，（1）（2）引申：也适用于双曲线、抛物线例4：求过定点，以轴为准线、离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程解析：设，则：，且，故椭圆的左顶点的轨迹方程是（二）焦半径公式例5：椭圆，其上一点到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解析：由椭圆的焦半径公式，得：，解得： 故所求椭圆方程为：例6：已知为椭圆上的点，且与的连线互相垂直，求解析：由题意，得：64，的坐标为例7：椭圆上能否找到一点，使得到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？ 解析：椭圆的左准线是，若存在，设，则：或，
6、故不存在符合条件的点例8：设是以为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切解析：设椭圆方程为，焦半径是圆的直径，则：，两圆半径之差等于圆心距故以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切（三）焦点三角形P曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理例9：证明：椭圆的焦点三角形中，解析：在中，；在中，例10：已知椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是和的等差中项（1）求椭圆的方程；（2）若点在第三象限，且，求12P解析：（1）是和的等差中项， 椭圆的方程为（）设，则， ，故，（四）对称问题例11：
7、在直线任取一点，过且以的焦点为焦点作椭圆，问在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆/2解析：法1：待求椭圆的，其焦点在直线的同侧，关于直线的对称点为，则待求椭圆的长轴长为：，12为直线与的焦点时，所作椭圆的长轴长最短；，此时，故待求椭圆为：法2：设待求椭圆为：，则与椭圆相切于点时，椭圆的长轴长最短， ，与椭圆相切，又，故待求椭圆为：，此时，即例12：已知椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围解析：法1：点关于直线对称，设，则：，；的中点在直线上，；故的取值范围是法2：设，的中点，则：，的中点在上，则：，的中点在椭圆内，故的取值范围是（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆与轴的正半
8、轴交于，是原点，若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围解析：，设， ，故例14：已知是椭圆的上顶点，是椭圆上的动点，求的最大值解析：设，则：（1）若时，；（2）若时，综上，若时，；若时，（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：解析：（1）设椭圆的方程为，则：，故椭圆的方程为，离心率（2）解：，设直线PQ的方程为，则： ，；又 ，故直线PQ的方程为或 （3）证明：由已知得方程组 ，例
9、16：椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，离心率，过点的直线交椭圆于A、B两点，且满足（1）若为常数，试用直线的斜率表示三角形的面积；（2）若为常数，当三角形的面积取得最大值时，求椭圆E的方程解析：设椭圆方程为：，故椭圆方程为： （1）直线交椭圆于，则： ，且； ；， ；，由知：，（2），当且仅当时，即时，S取得最大值当时，代入中，得：，故所求为（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线相交于A、B两点，且满足（为坐标原点）证明：满足上述条件的椭圆过定点解析：设椭圆的方程为：，则：，且，故椭圆过定点（八）综合应用例18：过椭圆的中心的弦与轴所夹的锐角为，将坐标平面沿轴折成直二面角，求连线与轴成角解析：作交椭圆于，则关于轴对称，关于轴对称；翻折后，据三垂线定理，知：，则连线与轴成角就等于；，故连线与轴成角为四、课后反思
