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1、高中文科数列部分知识整理数列（一）等差数列1.等差数列的概念：若数列an从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列an叫等差数列.常数叫做公差。2. 等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=； a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.3.通项公式：an=a1+（n1）d， 推广：an=am+（nm）d. 变式：a1=an（n1）d，d=，d=.4.前n项和：Sn=na1+d=nan（n1）nd.变式：=a1+（n1）=an+（n1）（）.【练习】1.等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是 （ ）A.48 B.49 C.50 D
2、.512.在等差数列an中，公差为，且a1+a3+a5+a99=60，则a2+a4+a6+a100=_. 3.已知an为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.解：设an的首项为a1，公差为d，则4.等差数列an的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.（1）求通项an； （2）若Sn=242，求n.6.设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.数列（二）等比数列1.定义数列an从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.等比中项：若a
3、、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=.3.通项公式：an=a1qn1，推广形式：an=amqnm.4.前n项和Sn=5.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数； （2）用中项性质：只需an+12=anan+2或=.【例题】1.已知等比数列an中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=_.2.数列an中，a1=1，an=an1+1（n2），求通项公式an.数列（三）差比数列知识点归纳 一、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：、时，应能从中得到相应的等差数列。2、等差数列的通项公式：、 (其中为首项、为已知的第项) 当时，是关于的一次式；当
4、时，是一个常数。3、等差数列的前项和公式： 当时，是关于的二次式且常数项为0； 当时（），是关于的正比例式。4、等差数列中，若，则5、等差数列的公差为，则任意连续项的和构成的数列、仍为等差数列，公差为。6、等差数列的公差为，前项和为，则数列是等差数列，公差为。特别地、组成等差数列。7、两个等差数列与的公差分别为和，则数列为等差数列，且公差为8、等差数列的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如、9、为等差数列，公差为，则数列 ()是等比数列，公比为。10、 在等差数列中： 若项数为，则 若项数为，则 11、两个等差数列与的前项和分别为、，则二、等比数列1、等比数列及等比中项
5、定义：注：根据定义，当我们看到形如：、应能从中得到相应的等差数列。2、等比数列的通项公式： (其中为首项、为已知的第项，)关于等比数列的单调性：当时，为常数列 当时，为摆动数列；当且时，为递增数列； 当且时，为递减数列；当且时，为递增数列； 当且时，为递减数列；3、等比数列的前项和公式：当时， (是关于的正比例式)； 当时， 4、等比数列中，若，则5、等比数列的公比为，且,则任意连续项的和构成的数列、仍为等比数列，公比为。6、两个等比数列与的公比分别为和，则数列、仍为等比数列，公比分别为、。7、等比数列的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等比数列。如、8、等比数列的公比为，且，则
6、 (且) 是等差数列，公比为。9、 在等比数列中： 若项数为，则 若数为则，数列专题讲练1 等差数列的证明方法： （1）定义法：(常数) （2）等差中项法：2等比数列的证明方法：（1）定义法：(常数) （2）等比中项法：二通项公式的求法（1）利用等差等比的通项公式（2）累加法： 【例】已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。（3）构造等差或等比 或 【例】已知数列满足求数列的通项公式； 解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即 【例】已知数列中，,，求. 解：在两边乘以得： 令，则,解之得：,所以. 【练习】已知数列满足，且。 （1）求；（2）求数列的通项公式。（
7、4）利用 【例】若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式； 解： 当 当 【练习】已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an （5）累积法 转化为，逐商相乘. 【例】已知数列满足，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 【练习】1.已知， ，求。（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。 【例】已知数列an满足：，求数列an的通项公式。 解：取倒数： 是等差数列， 【练习】已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；三数列求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：
8、3、错位相减法求和 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 【例】 求和： 解：由题可知，设 （设制错位） 得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。 【练习】 求数列前n项的和.4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 【例】求数列的前n项和：， 解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a1时，（分组求和） 当时，6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1）为等差数列，（2） 【例】求数列的前n项和. 解：设，则 【例】在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和： 【练习】1已知数列的前项和为，且满足 。求数列的通项公式；9
