《2019版高考数学（理科）总复习教师用书练习：5.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（理科）总复习教师用书练习：5.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.2 异面 直线所成的角与点、线、面位置关系判断 命题角度 1 两条异面直线所成 的角 高考真题体验对方向 1.(2018 全国9)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线 AD1与 DB1所成 角的余弦值为( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 以 DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则 D1(0,0,),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,).=(-1,0,), =(1,1,).设异面直线 AD1与 DB1所成的角为 .cos =. 异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为. 2.(2017 全国10)已知直三棱柱 ABC-
2、A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直 线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 方法一:如图,取 AB,BB1,B1C1的中点 M,N,P,连接 MN,NP,PM, 可知 AB1与 BC1所成的角等于 MN 与 NP 所成的角. 由题意可知 BC1=,AB1=, 则 MN=AB1=,NP=BC1=. 取 BC 的中点 Q,连接 PQ,QM,则可知PQM 为直角三角形. 在ABC 中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221=7,即 AC=. 又 CC1=1,所以 PQ=1,MQ=AC=. 在MQP 中,可
3、知 MP=. 在PMN 中,cosPNM=-, 又异面直线所成角的范围为, 故所求角的余弦值为. 方法二:把三棱柱 ABC-A1B1C1补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接 C1D,BD,则 AB1与 BC1所成的角为BC1D. 由题意可知 BC1=, BD=,C1D=AB1=.可知 B+BD2=C1D2, 所以 cosBC1D=,故选 C. 3.(2016 全国11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析(方法一)平面 CB1D1,
4、平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 ABCD=m,平面 CB1D1 平面 A1B1C1D1=B1D1,mB1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1,平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面 DCC1D1=CD1,nCD1. B1D1,CD1所成的角等于 m,n 所成的角, 即B1D1C 等于 m,n 所成的角. B1D1C 为正三角形,B1D1C=60, m,n 所成的角的正弦值为. (方法二)由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1平移, 补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 , m 即为
5、 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角.因为AEF 是正三 角形,所以EAF=60, 故 m,n 所成角的正弦值为. 4.(2017 全国16)a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所 在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角; 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60. 其中正确的是 .(填写所有正确结论
6、的编号) 答案 解析由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由 ACa,ACb,得 AC圆锥底 面,在底面内可以过点 B,作 BDa,交底面圆 C 于点 D,如图所示,连接 DE,则 DEBD,DEb.连接 AD,在等腰三角形 ABD 中,设 AB=AD=,当直线 AB 与 a 成 60角时, ABD=60,故 BD=.又在 RtBDE 中,BE=2,DE=,过点 B 作 BFDE,交圆 C 于点 F,连接 AF,由圆的对称性可知 BF=DE=, ABF 为等边三角形,ABF=60,即 AB 与 b 成 60角,正确,错误.由最小角定 理可知正确;很明显,可以满足直线 a
7、平面 ABC,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90,错 误.故正确的说法为. 新题演练提能刷高分 1.(2018 百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, AB=2,BAD=60,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,F,F 分别为 PD,CD 的中点, 则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析如图,取 AD 的中点 O,连接 OP,OB,由题意可得 PO平面 ABCD. 在AOB 中,OA=1,AB=2,OAB=60,则由余弦定理得 OB=,所以 OBAD, 因此可建立如图所示的空间直角坐标系
8、 O-xyz. 则 A(1,0,0),E -,0, ,B(0,0),F -,0 , = -,0, ,= -,-,0 , cos=,异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为,故选 D. 3.(2018 贵州凯里模拟)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,若其 外接球的表面积为 16,则异面直线 BD1与 CC1所成的角的余弦值为 . 答案 解析设外接球的半径为 R,则 4R2=16,解得 R=2,设长方体的高为 x,则 x2+12+12=(2R)2=16, 故 x=,在 RtBDD1中,DD1B 即为异面直线所成的角,其余弦值为. 4.(2018 四川
9、乐山半期联考)如图,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G 分别为 AB,AC,CD 中点,且 AD=BC=2,EG=,则异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小为 . 答案 60 解析由三角形中位线的性质可知 EFBC,GFAD,则EFG 或其补角即为所求, 由几何关系有 EF=BC=1,GF=AD=1, 由余弦定理可得 cosEFG=-,则EFG=120,所以异面直线 AD 与 BC 所成的角的大 小为 180-120=60. 5.(2018 安徽淮南、宿城联考)在如图所示的三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,ABAC,D 是 PC 的中点.AB=2,AC=2,PA=2.则异面直线 P
10、B 与 AD 所成角的余弦值为 . 答案 解析 如图所示,建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,1), =(0,1),=(2,0,-2),cos=,故答案为. 6.(2018 安徽、山西等五省六校联考)如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 是 DC 的中点;如 图 2,将DAE 沿 AE 折起,使折后平面 DAE平面 ABCE,则异面直线 AE 和 DB 所成角的余 弦值为 . 答案 解析取 AE 的中点为 O,连接 DO,BO,延长 EC 到 F 使 EC=CF,连接 BF,DF,OF,则 BF
11、AE,所 以DBF 或它的补角为异面直线 AE 和 DB 所成角. DA=DE=1,DOAE,且|AO|=|DO|=,在ABO 中,根据余弦定理得 cosOAB=cos 45=. |BO|=.同理可得|OF|=. 又平面 DAE平面 ABCE,平面 DAE平面 ABCE=AE,DO平面 DAE,DO平面 ABCE. BO平面 ABCE,DOBO, |BD|2=|BO|2+|DO|2=3, 即|BD|=,同理可得|DF|=. 又BF=AE=,在DBF 中,cosDBF=-, 两直线的夹角的取值范围为 0, , 异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为. 命题角度 2 空间位置关系的综 合判断
12、高考真题体验对方向 1.(2018 全国12)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则 截 此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析满足题设的平面 可以是与平面 A1BC1平行的平面,如图(1)所示. 图(1) 再将平面 A1BC 平移,得到如图(2)所示的六边形. 图(2) 图(3) 设 AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为 S=(1-a)+a+a2-3(a)2(-2a2+2a+1),所以当 a=时,Smax=. 2.(2015 安徽5)已知 m,n 是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若 , 垂直于同一平
13、面,则 与 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 A 选项 , 可能相交;B 选项 m,n 可能相交,也可能异面;C 选项若 与 相交,则在 内 平行于它们交线的直线一定平行于 ;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知 D 选项 正确. 3.(2016 全国14), 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: 如果 mn,m,n,那么 . 如果 m,n,那么 mn. 如果 ,m,那么 m. 如果 mn,那么 m 与 所成的角和 n 与
14、所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 解析对于,若 mn,m,n,则 , 的位置关系无法确定,故错误;对于,因为 n,所以 过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c,则 nc.因为 m,所以 mc,所以 mn,故正确;对 于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确, 故正确命题的编号有. 新题演练提能刷高分 1.(2018 福建厦门期末)若 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的 是( ) A.若 ,m,则 m B.若 m,nm,则 n C.若 m,n,m,n,则 D.若 m,m,=n,则 mn 答案
15、 D 解析选项 A 中,m 与 的关系是 m 或 m,故 A 不正确; 选项 B 中,n 与 的关系是 n 或 n 与 相交但不垂直或 n,故 B 不正确; 选项 C 中, 与 之间的关系是 或相交,故 C 不正确; 选项 D 中,由线面平行的性质可得正确.故选 D. 2.(2018 湖北重点高中协作体期中)已知直线 l,m,平面 ,且 l,m,下列命题: lm;lm;lm;lm,其中正确的序号是( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 l,l,而 m,所以 lm,对; l,m, 时,l,m 位置关系不定; l,lmm,而 m,所以 ,对; l,m,lm 时, 位置关系不定.故选 B. 3.(2018 广西南宁期末)设 l,m,n 表示不同的直线, 表示不同的平面,给出下列四个命题: 若 ml,且 m,则 l;若
