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1、 目录目录 题目： . 2 算法设计思路和方案 . 2 关于第一步矩阵 A 的拟上三角化 . 2 关于对矩阵 进行带双步位移的 QR 分解迭代 3 关于求从属于矩阵 A 的实特征值的特征向量 . 3 计算结果 . 4 发现的现象与问题: 7 探究带双步位移的 QR 分解比一般 QR 分解节省的计算量 . 7 探究拟上三角化对 QR 分解迭代收敛速度的影响 7 关于直接单步 QR 分解计算发现的问题 9 源程序 . 10 数值分析上机实习作业二 王强 SY1413315 题目：题目： 试求矩阵 = 1010 的全部特征值，并对其中的每个实特征值求相应的特征向量， 已知： = sin(0.5 +
2、0.2) 1.52cos( + 1.2) = (, = 1,2,10) 说明： 1. 在所用的算法中，凡是要给出精度水平的 ，都取 = 1012。 2. 打印以下内容： (1) 采用带双步位移的 QR 分解法，说明算法设计方案和思路。 (2) 全部源程序。 (3) 矩阵 A 经过拟上三角化后的矩阵(1)。 (4) 对矩阵(1)实行 QR 方法迭代结束后所得的矩阵； (5) 矩 阵 A 的 全 部 实 特 征 值 = (,) ( = 1,2,10),其中= ( ), = ()。若i是实数，则令= 0; (6) A 相应的实特征值的特征向量。 (7) 发现的现象与遇到的问题。 3. 采用 e 型数
3、输出实型数，并且至少显示 12 位有效数字。 算法设计思路和方案算法设计思路和方案 该问题的求解起始主要分为三个步骤，第一步是对 A 拟上三角化得矩阵(1)；第二步 是对矩阵(1)进行带双步位移的 QR 分解迭代，并求出全部特征值；第三部是求出所有实 特征值对应的特征向量。 关于关于第一步矩阵第一步矩阵 A 的拟上三角化的拟上三角化 对于此步书上已经有明确的思路和实现方法了， 只是在编程的过程中注意对下式在计算 的时候应注意避免矩阵乘矩阵 (+1)= () 如果设 (),( = + 1, + 2,不全为零，则有： = (0,0,+1, () , ) = (+1, () )2，(若+1, ()
4、= 0，择取= 2)。 = = | | 2 = 2 为了避免矩阵相乘采用如下步骤计算 (+1)= ()= ( 2 ) () = () 2 () 其中 ()= () 2() ) 1. 计算中间向量= ()； 2. 从 = 1,2, = + 1,计算 () = () 2()(), ()= ()； 3. 计算中间向量= ()； 4. 从 = 1,2, = + 1,计算 (+1) = () 2()(), (+1)= (+1)； 关关于于对矩阵对矩阵()进行带双步位移的进行带双步位移的 QR 分解迭代分解迭代 尽管书上给出了算法实现的 11 个步骤，然而在思路很混乱，在判断某步 QR 迭代后能 否对得到
5、的矩阵+1求部分特征值以达到降阶方面， 按照书上的判断方法， 几乎不可避免的 得使用 goto 语句，这使得程序流程变得混乱。经过仔细分析后，可以发现能否求解+1的 部分特征值然后实现矩阵+1降阶的关键在于判断一下拟上三角阵 11121 2122232 0 12111 00 1 是否存在下列形式的子块 +1= 11 1 0 +1= 22212 0111 01 而其本质就是 1. 令 = 1, = 10,1= (1)= 以及最大迭代步数 L； 2. 若 m0，则结束计算， 已求出 A 的全部特征值， 判断1 () ， 带入方程R = 0， 回代， 求出其余的， 则 可得方程R = 0的一个解()
6、= (1,10) 如此即可以得到方程R = 0的 p 个线性无关的解，()， = 1,2, 对于本例，对所用的特征值，其重数 p=1。 计算结果计算结果 进行拟上三角 A(n-1)为： Table 1 矩阵矩阵()的前三列和后三列的前三列和后三列 -0.8945216982 -0.0993313649 -1.0998317589 0.9132565113 -0.6407977009 0.1946733679 -2.3478783624 2.3720579216 1.8279985523 -1.2630152661 0.6790694668 -0.4672150886 -0.0000000000
7、 1.7359544699 -1.1650233675 0.6339300597 -0.1308518929 0.3040301036 -0.0000000000 -0.0000000000 -1.2929375639 0.4236733937 -0.1019600827 0.1943660915 -0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 -0.4665979167 0.2941231566 -0.1034421114 0.0000000000 -0.0000000000 0.0000000000 -0.2434337858 0.6736286085 0.
8、2624772905 0.0000000000 -0.0000000000 0.0000000000 0.9710739102 -0.1298967369 0.0278024208 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.4525143455 0.5048901528 -0.1211210194 0.0000000000 0.0000000000 -0.0000000000 0.7039911374 0.1267535523 -0.3714696736 0.0000000000 -0.0000000000 0.0000000000 -0.000
9、0000000 -0.4919586872 0.4081509766 A(n-1)进行 QR 分解迭代后所得的矩阵 RQ 的前三列和后三列为： Table 2 3.3896134388 0.8353522441 -0.9407594118 -0.0764913134 0.9684803905 -0.4210340041 0.0000000000 -2.2554605972 -2.3696315551 0.1606195241 0.5797745140 0.0612218649 0.0000000000 0.3396553973 -2.4182712673 0.3064680671 -1.977
10、9532352 1.0491710053 0.0000000000 -0.0000000000 0.0000000000 -0.0072788866 0.0801596621 -0.1137955832 0.0000000000 0.0000000000 -0.0000000000 -0.0341345177 -0.1213263559 -0.1053724507 -0.0000000000 -0.0000000000 0.0000000000 -0.2535373674 0.5841485472 -0.5129627500 -0.0000000000 -0.0000000000 0.0000
11、000000 -0.1135339714 -0.2838529398 -0.0400502870 0.0000000000 0.0000000000 -0.0000000000 0.9432879573 0.1855615516 -0.1449241409 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.0000000000 0.6418381910 -0.2915442394 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.0000000000 -0.0144456373 0.0566605384 矩阵的所有
12、特征值为： (R_1 ,I_1 )=( 3.389613438816e+000, 0.000000000000e+000) (R_2 ,I_2 )=(-2.336865932239e+000, 8.934379210213e-001) (R_3 ,I_3 )=(-2.336865932239e+000, -8.934379210213e-001) (R_4 ,I_4 )=( 1.590313458807e+000, 0.000000000000e+000) (R_5 ,I_5 )=(-1.493147080915e+000, 0.000000000000e+000) (R_6 ,I_6 )=(
13、-9.891143464723e-001, 1.084758631502e-001) (R_7 ,I_7 )=(-9.891143464723e-001, -1.084758631502e-001) (R_8 ,I_8 )=( 9.432879572769e-001, 0.000000000000e+000) (R_9 ,I_9 )=( 6.489488202111e-001, 0.000000000000e+000) (R_10,I_10)=( 4.954990923633e-002, 0.000000000000e+000) 迭代次数为 13 从属于特征值 lamd= 3.38961343
14、8816e+000 的特征向量为： -4.378520514631e-001 -9.088251511881e-001 -1.981899348005e+000 -1.082954963243e+000 -1.272010688636e+000 -1.083239380079e+000 3.626767839910e-001 1.691996941932e+000 2.127753771739e+000 1.000000000000e+000 从属于特征值 lamd= 1.590313458807e+000 的特征向量为： 6.220134985374e-001 -1.119962139645e-001 -2.
