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1、函数综合1、 选择题1.（2017北京）小苏和小林在右图所示的跑道上进行450米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离（单位：）与跑步时间（单位：）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（ ）A两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前15跑过的路程大于小林前15跑过的路程D小林在跑最后100的过程中，与小苏相遇2次【答案】D.考点：函数图象2.（2017甘肃）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿ABBC的路径运动，到点C停止过点P作PQBD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点
2、P的运动时间x（秒）的函数图象如图所示当点P运动2.5秒时，PQ的长是（）ABCD【考点】E7：动点问题的函数图象【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ的长，根据线段的和差，可得CP的长，根据勾股定理，可得答案【解答】解：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，CP=85=3cm，由勾股定理，得PQ=3cm，故选：B3.（2017湖北荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：方程x2+2x8=0是倍根方程；若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=3；若关于x的方程ax26ax+c=
3、0（a0）是倍根方程，则抛物线y=ax26ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程上述结论中正确的有（）ABCD【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式；根与系数的关系；抛物线与x轴的交点【分析】通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；设x2=2x1，得到x1x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=1时，x2=2，于是得到结论；根据“倍根方程”的定义即可得到结论；若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正
4、确的结论；【解答】解：由x22x8=0，得（x4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=2，x12x2，或x22x1，方程x22x8=0不是倍根方程故错误；关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，设x2=2x1，x1x2=2x12=2，x1=1，当x1=1时，x2=2，当x1=1时，x2=2，x1+x2=a=3，a=3，故正确；关于x的方程ax26ax+c=0（a0）是倍根方程，x2=2x1，抛物线y=ax26ax+c的对称轴是直线x=3，抛物线y=ax26ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故正确；点（m，n）在反比例函数y=的图象上，mn=4，解mx2+5x+n=0得x1=
5、，x2=，x2=4x1，关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；故选C4.（2017四川泸州）下列曲线中不能表示是的函数的是（ ）【答案】C.【解析】二、填空题1.（2017重庆B卷）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B【答案】78考点：函数的图象2.（2017湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在
6、第二象限将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M若经过点M的反比例函数y=（x0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tanDOE=，则BN的长为3【考点】R7：坐标与图形变化旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义；T7：解直角三角形【分析】利用矩形的面积公式得到ABBC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到anDOE=，所以DE2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在RtOCM中利用正切定义得到MC=2，则M（2，4），易得反比例函数解析式为y=，然后确定N点坐标，最后计算BN的长【
7、解答】解：S矩形OABC=32，ABBC=32，矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，AB=DE，OD=OA，在RtODE中，tanDOE=，即OD=2DE，DE2DE=32，解得DE=4，AB=4，OA=8，在RtOCM中，tanCOM=，而OC=AB=4，MC=2，M（2，4），把M（2，4）代入y=得k=24=8，反比例函数解析式为y=，当x=8时，y=1，则N（8，1），BN=41=3故答案为3三、解答题1.（2017北京）如图，是所对弦上一动点，过点作交于点，连接，过点作于点.已知，设两点间的距离为，两点间的距离为.（当点与点或点重合时，的值为0）小东根据
8、学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：012345602.02.32.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为_.【答案】（1）1.6，（2）见解析，（3）2.2（答案不唯一）【解析】试题分析：(1)通过画图画出大致图象，估算当AP=4时，PN1.6；（2）见解析，（3）2.2（答案不唯一）试题解析：（1）1.6(2)如图所示：（3
9、）作y=x与函数图象交点即为所求.2.2(答案不唯一)考点：函数图象，估算，近似数2.（2017北京）在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点（1）当的半径为2时，在点中，的关联点是_点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围【答案】（1）， x 或 x，（2）2x1或2x2试题解析： （1）,点 与的最小距离为 ，点 与的最小距离为1，点与的最小距离为，的关联点为和根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到
10、原点的距离在1到3之间时符合题意； 设点P的坐标为P (x ,-x) ,-当OP=1时，由距离公式可得，OP= ，解得 ，当OP=3时，由距离公式可得，OP= ，,解得， 点的横坐标的取值范围为 x 或 x 如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，CD=1 ,=如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2,0)如图4,当圆过点 B 时，连接 BC ，此时 BC =3,在 RtOCB中，由勾股定理得OC= , C点坐标为 (2,0) C点的横坐标的取值范围为2 2 ； 综上所述点C的横坐标的取值范围为 或 考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.3.（2017浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，四
11、边形各顶点的坐标分别为，动点与同时从点出发，运动时间为秒，点沿方向以单位长度/秒的速度向点运动，点沿折线运动，在上运动的速度分别为（单位长度/秒）.当中的一点到达点时，两点同时停止运动.（1）求所在直线的函数表达式；（2）如图2，当点在上运动时，求的面积关于的函数表达式及的最大值；（3）在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的值.【答案】(1) y=x+2 ;(2) ,当t=5时，S有最大值；最大值为;(3) t的值为.试题解析：（1）解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b,得 ;解得：;y=x+2 ;（2）解：在PQC中，PC=14-t,PC边上的高线长为
12、; 当t=5时，S有最大值；最大值为.c.当6t10时，线段PQ的中垂线经过点C（如图3）可得方程14-t=25-;解得：t=.线段PQ的中垂线经过点B（如图4）可得方程;解得（舍去）；此时；综上所述：t的值为.4.（2017贵州黔东南州）如图，M的圆心M（1，2），M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PFy轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使PEF的面积最小？若存在
13、，请求出此时点P的坐标及PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）连接AM，过点M作MGAD，垂足为G先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明MAG=ABD，故此可证明AMAB；（3）先证明FPE=FBD则PF：PE：EF=：2：1则PEF的面积=PF2，设点P的坐标为（x，x2x+），则F（x，x+4）然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可【解答】解：（1）设抛物线的解
14、析式为y=a（x2）（x+4），将点M的坐标代入得：9a=2，解得：a=抛物线的解析式为y=x2x+（2）连接AM，过点M作MGAD，垂足为G把x=0代入y=x+4得：y=4，A（0，4）将y=0代入得：0=x+4，解得x=8，B（8，0）OA=4，OB=8M（1，2），A（0，4），MG=1，AG=2tanMAG=tanABO=MAG=ABOOAB+ABO=90，MAG+OAB=90，即MAB=90l是M的切线（3）PFE+FPE=90，FBD+PFE=90，FPE=FBDtanFPE=PF：PE：EF=：2：1PEF的面积=PEEF=PFPF=PF2当PF最小时，PEF的面积最小设点P的坐标为（x，x2x+），则F（x，
