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1、开放探究专题开放探究题是相对于条件完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条件不全，或满足条件的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条件，结论或选择相关的求解途径这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题一、条件开放型条件开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条件的一类题型，其特征是问题的条件不完备，且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条件，即不一定由结论唯一推出解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求其合
2、乎要求的一些条件例1 （2015娄底）如图1，已知AB=BC，要使ABDCBD，还需要加一个条件，你添加的条件是_,(只需写一个，不添加辅助线). 图1解析：由已知AB=BC及公共边BD=BD可知，要使ABDCBD，已经具备了两条边相等，根据全等三角形的判定定理，应该有两种方法SAS或SSS能使这两个三角形全等所以可添ABD=CBD或AD=CD评注：根据图形探究三角形全等的条件，除了根据基本判定方法以外，还应善于挖掘图形中隐藏条件（如公共边、公共角、对顶角等），以及线段的和差、角的和差关系等例2 （2015梅州）已知，ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与
3、ABC相似，则需要增加的一个条件是_（写出一个即可） 图2解析：本题由于没有确定相似三角形的对应顶点，所以应分两种情况讨论：当AEFABC时（如图2-），由点E为AB中点，得AF=AC（或点F为AC中点，EFBC，AEF=B等）；若使AFEABC（如图2-），则应添加AFE=ABC或AEF=ACB等评注：本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条件较多，要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用跟踪训练：1（2015黔东南）如图，在四边形ABCD中，AB/CD，连接BD.请添加一个适当的条件_，使得ABDCDB.（只需写一个）.第1题图 第2题图2（2015牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于
4、点O，AO=CO，请添加一个条件_（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.二、结论开放型结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，可很好的培养学生的发散思维在解答结论开放性探究题时，要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻地分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍；对于需要找出多个结论的结论开放性问题，可以运用分类讨论的思想，从各个不同的侧面入手，进行探索、分析，寻找问题的结论例3 （2015淄博）对于两个二次函数，满足当时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3请写出两个符合题意的二次函数的解析式_（要求：
5、写出的解析式的对称轴不能相同）分析：已知当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求出m的确值即可解：因为当时，二次函数的函数值为5，的函数值为3，此时，所以当时，即得或，又因为此时有最小值，故抛物线的顶点坐标为(，3)，用顶点式设出解析式为，随着取值的不同，的解析式也不断变化，如当时，解析式为和COABP评注：本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是求出的值例4 （2015崇左）如图3，线段AB是O的直径，点C在圆上，AOC80，点P是线段AB延长线上的一动点，连结PC，则APC的度数是_度（写出一个即可） 图3分析：根
6、据三角形外角性质可知，APC的度数大于零度，且小于APC度数，故只需求出ABC度数，便可确定APC的度数的范围解：因为圆周角ABC与圆心角AOC对的是同一条弧，所以ABCAOC40根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，知APCABC，即0APC40，据此写一个度数即可 评注：此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出ABC的度数是解题关键跟踪训练：3（2015益阳）已知y是x的反比例函数，当x 0时，y随x的增大而减小请写出一个满足以上条件的函数表达式 4.（2015义乌）如果抛物线过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式y=2x2+3x4请你写
7、出一个不同于小敏的答案_BACD第4题图5（2015潜江天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.三、综合开放性问题综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，要求学生通过合理推理，透彻分析总结出结论，从而培养学生的发散思维能力根据这类问题的特点，在解答时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断例5 如图4，
8、点A、B、D、E都在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C给出以下三个论断：AB是圆的直径；点D是BC中点；AB=AC以三个论断中的两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明 图4分析：以三个论断中两个为条件，一个为结论，共有三种组合：即由推出；由推出；由推出然后分别根据图形，结合所学知识，分析三个组合的正确与否即可解：正确的命题可以是由推出，证明如下：连接AD，因为AB是圆的直径，所以ADBC.又因为点D为BC中点，所以AD垂直平分BC.所以AB=AC（由推出和由推出也都是真命题，证明过程请自主完成）评注：本题属于条件和结论全开放的问题，熟练掌握等腰三角形
9、的三线合一性质和90的圆周角与直径的关系是解答本题的关键跟踪训练6如图，有以下3个条件：AC=AB，ABCD，1=2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是 （ ）A.0 B. C. D.1第6题图7.（2015烟台）先化简：，再从2x3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值.四、存在性问题G存在性问题是指在一定条件下，探索发现某种数学关系是否存在的一类问题，它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的假设，按题目中条件和所学知识进行推理、计算，若推出的结论合理，则说明假设成立，反之，则假设不成立例5 （201
10、5攀枝花，有改动）如图5，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C 图5求该抛物线的解析式；在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由分析：把A（1，0）、B（3，0）两点代入y=x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，设D（，），过点D作DHx轴于点H，交BC于点G，设BCD的面积为S，根据，即可求出S与t之间的函数关系式，从而求出D点坐标及BCD面积的最大值.解：把A（1，0）、B（3，0）两点代入y=x2+bx+c中得，解得 所以抛物线的解析式为y=x2+2
11、x+3.存在，理由如下：设D（，）.过点D作DHx轴于点H，交BC于点G，由易得点C的坐标为（0，3），设直线BC的解析式为，将B（3，0）和C（0，3）代入，得，解得，所以直线BC的解析式为，则G点坐标为（，）.所以DG=-（）=，设BCD的面积为S，且，所以S=，配方，得S=.所以当时，面积有最大值为，此时点D坐标为（，）.评注：在解答坐标系中三角形面积问题时，通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形，或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。跟踪训练：8（2015黔东南）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为A（4,0），与轴的交点为B，过A、B的直线为.（1）求二次函数的解析式及点B的坐标；（2）由图像写出满足的自变量的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.第8题图跟踪训练参考答案：1，或，或，或.2ABCD；或ACBD；或BAO=DCO；或ABO=CDO；或DO=BO；或ADO=CBO.3答案不唯一，如4本题答案不唯一，如y=x22x+25（1）DAB=DCB；（2）BD平分ADC和ABC；（3）DBAC，DB平分AC等均可证明略.6.D7.原式=可取x=2代入上式，=4注：所代入的数值不能是-1、0、1，其他的均可，8.（1），点B的坐标为(0,3).（2）x0或x4.6
