《2014.03.20向量专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014.03.20向量专题复习（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向 量 专 题 复 习一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在BAC的角平分线上，故点P的轨迹过ABC的内心，选B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(3, 4)，若点C在AOB的平分线上，且，则=_.略解：点C在AOB的平线上，则存在使=, 而，可得，.题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线
2、的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过ABC的重心，选C.题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：由已知得，由正弦定理知，设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A .题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点
3、，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：由已知得，= 0，即APBC，所以动点P的轨迹通过ABC的垂心，选B.题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：设BC的中点为D，则，则由已知得，= 0 . DPBC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过ABC的外心. 选C .题6：三个不共线的向量满足=+) = 0，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心解：表示与ABC中A的外角
4、平分线共线的向量，由= 0知OA垂直A的外角平分线，因而OA是A的平分线，同理，OB和OC分别是B和C的平分线，故选C .题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( )A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点解：= =,由平行四边形法则知必过AB边的中点，注意到，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：若= 0, 则，以、为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中
5、点，有，得，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为ABC的中线，所以O是ABC的重心. 选C .题9：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，即= 0，由上题的结论知O点是ABC的重心. 故选C .题10：已知O是ABC所在平面上的一点，若，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由，则，即，得，所以. 同理可证，. O是ABC的垂心. 选D.题11：已知O为ABC所在平面内一点，满足=，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D.
6、 外心解：由已知得= 0= 0，. 同理，. 故选A .题12：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得：= 0= 0. 所以O点是ABC的外心. 选A .题13：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：，则= 0，得. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分BAC. 又、共线，知AO平分BAC. 同理可证BO平分ABC，CO平分ACB，所以O点是ABC的内心.题14：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点
7、)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得=，=，由上题结论知O点是ABC的内心. 故选B.题15：设O为ABC的外心，G为ABC的重心，求证：.证明：根据题9中P点的任意性即可证得. 证明略.A BCOH D题16：设O为ABC的外心，H为ABC的垂心，则.证明：在ABC的外接圆O中作直径BD，连接AD、DC，则有：, ADAB, DCBC, 又H是垂心，则AHBC, CHAB, CHAD, AHDC, 于是AHCD是平行四边形，.练习1：ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，=，则实数m =_.解1：由上题结论知m = 1.解2：O为AB
8、C的外接圆的圆心，所以，又H为三角形的垂心，则，故，设. 则，又=，所以m=1.练习2：ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, ABC的外接圆的圆心为O，若，求实数的值.解：，两边平方得. 分别取AB、AC的中点M、N，连接OM、ON. 则=.又O为ABC的外接圆的圆心，则= 0，即有.同理有= 0，得. 解得，.二、与三角形形状相关的向量问题题17：已知非零向量与满足= 0且，则ABC为( )A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，= 600 .
9、所以ABC为等边三角形，选D .题18：已知O为ABC所在平面内一点，满足，则ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形解：由已知得，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以ABAC，选B .题19：已知ABC，若对任意，则ABC( )A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形 D. 答案不确定解法1：，式右边表示A、C两点之间的距离，记，则式左边表示直线BC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由恒成立知，A在直线BC上的射影就是C点，所以ACBC，故选C .解法2：令，过点A作ADBC于点D, 由，得，令f (t)
10、=，则f (t)恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而当t =时，f (t)取最小值，此时：，即，从而有| AD | | AC | , , 故选C.题20：已知a, b, c分别为ABC中A, B, C的对边，G为ABC的重心，且= 0, 则ABC为( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形解：G是ABC的重心，= 0, 又= 0, = 0, 即= 0 ., 不共线，a c = b c = 0, 即a = b = c. ABC为等边三角形. 选D.三、与三角形面积相关的向量问题命题：平面内点O是ABC的重心，则有 .题21：已知点O是ABC内一点，=
11、0, 则：(1) AOB与AOC的面积之比为_；(2) ABC与AOC的面积之比为_；(3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_.解： (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则= 0, 所以O是AEF的重心. ，.(2) ，=，又, .(3) =， .四、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)命题：A、B、C三点共线，且(O为平面上任一点).题22：在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则=( )A. B. C. D.ABCMONE解：由上述命题的结论可知选A .题23：如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、
12、N，若，则m + n =_.解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C重合，则m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，M、O、N三点共线，,m + n = 2.解3：过点B作BEAC, 则，.又，1 m = n 1, m + n = 2 .GABCMPQ题24：如图，已知点G是ABC的重心，若过ABC的重心，记= a,= b, = ma , = nb , 则=_.解：=a +b =,P、G、Q三点共线，= 3 .题25：(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2) 已知，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1) = k + (k2 + 1)12cos1200 + 4k = k2 + 5k 1 ,依题意，得 k2 + 5k 10，.又当与同向时，仍有0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k =, 取k =1.且k1 .
