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1、 2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算（ ）（A） （B）1 （C） （D）2 【答案】（B） 【解析】原式=，故选（B）.2.满足等式的所有实数的和为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】（A） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若，即时，满足已知等式； （2）若，即时，满足已知等式； （3）若，即且时，由已知，得解得， 故满足等式的所有实数的和，故选（A）.3.已知是圆的直径，为圆上一点，的平分线交圆于点，若，则=（ ）（A）2 （B） （C） （D）3【答案】（A）【解析】连接,过点作于点，则,从而,由是圆的直径
2、，得,因平分,故,在中，,故选（A）.4.不定方程的全部正整数解的组数为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】（B）【解析】由，得，因为正整数，故，从而于是，即，由，知，故，故或当时，；当时，.故原不定方程的全部正整数解有两组：，,故选（B）.5.矩形的边长,为的中点,在线段上,，分别与,交于点,则=（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【解析】因,故,因,故,故,故.延长交于点,则由为的中点，知,故,因,故,故，故,于是,故选（C）.6.设为正整数，若不超过的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称为“好数”那么，所有“好数”之和为（ ）（A）33（B）34（C）20
3、13（D）2014【答案】（B）【解析】因既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过的正整数中，质数的个数为,合数的个数为,当时，列表如下（只考虑为奇数的情况）： 由上表可知，都是“好数”. 因，当时，在的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有故当时，不可能是“好数”. 因此，所有的“好数”之和为，故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数满足则 .【答案】【解析】由得，代入，得，故，又，故，故，于是.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目
4、与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则= .【答案】【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为个，任何面都不是红色的小正方体的总数为个，依题意有，解得(舍去).3.在中，分别在上，则的周长最小值为 .【答案】【解析】分别作点关于的对称的.则.连接,则,且,从而，故，,过点作于点,则，于是的周长为当且仅当点与点重合，且四点共线时取得等号，即的周长.4.若实数满足，用表示的最大值，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知，得，不妨设，则解得.当且仅当时取等号. 故的最大值.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数满足求的值.解：设，则因，即，故 又因为 故 由，可得即注：符合条件的实数存
5、在且不唯一，应满足 由（1）得，令，则，代入（2）得或，于是或，代入（3）或（4），得，故符合条件的实数存在且不唯一，如就是一组.又如也是一组，当然还有很多组.二、（本题满分25分）已知点在以为直径的圆上，过点作圆的切线，交于点，连接，若，求的值.解：连接，因为为圆的切线，所以因为,所以,因为，所以,所以,所以连接,因为圆的直径，为圆的切线，故又，所以，所以.又,（为圆的半径），代入,得.在中，由勾股定理,得,所以.三、（本题满分25分）已知是一元二次方程的一个根，若正整数使得等式成立，求的值.解：因为是一元二次方程的一个根，显然是无理数，且.由，得，将代入，得，即因为是正整数，是无理数，所以
6、，于是可得因此是关于的一元二次方程的两个正整数根，该方程的判别式又因为是正整数，所以，从而可得又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.把代入,得第二试（B）一、（本题满分20分）已知，若正整数,使成立，求的值.解：因为，所以由，得，将代入，得，整理得因为是正整数，是无理数，所以于是可得因此是关于的一元二次方程的两个正整数根，该方程的判别式又因为是正整数，所以，从而可得又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.把代入,得.二、（本题满分25分）在中，分别是的外心和内心，且满足, 求证：（1）;（2） .证明:（1）过点作于，过点作于，则,设，由分别是的外心和内心，得，所以，又恰好是两条平行线之间的垂线段，所以也是两条平行线之间的垂线段，所以，所以.（2）由（1）知是矩形，连接，设（即为的内切圆半径），则 三、（本题满分25分）若正数满足求代数式的值.解：由于具有轮换对称性，不妨设（1）若，则，从而，得故，这与已知条件矛盾.（2）若，则，从而，得故，这与已知条件矛盾.综合（1）（2）可知,一定有于是可得同理可得.故甘肃省华亭县皇甫学校李敬之老师个人竞赛空间 第8页（共8页）
