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1、课时作业课时作业 7 二项式定理二项式定理 |基础巩固基础巩固|(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(x2y)11展开式中共有( ) A10 项 B11 项 C12 项 D9 项 解析：根据二项式定理可知有 11112 项 答案：C 2在 5的二项展开式中，x 的系数为( ) (2x2 1 x) A10 B10 C40 D40 解析：利用通项求解 因为 Tr1C (2x2)5r rC 25rx102r(1)rxrC 25r(1)r 5 ( 1 x)r 5r 5 rx103r，所以 103r1，所以 r3，所以 x 的系数为 C 253(1)3 5 3
2、40. 答案：D 3已知 n的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ， (x2 1 x) 3 14 则展开式中常数项是( ) A1 B1 C45 D45 解析：由题知第三项的系数为 C (1)2C ，第五项的系数为 2 n2 n C (1)4C ，则有，解之得 n10， 4 n4 n C2 n C4 n 3 14 由 Tr1Cx202rx (1)r， r 102 r 当 202r 0 时，即当 r8 时， r 2 常数项为 C(1)8C45，选 D. 8 102 10 答案：D 4. 5(xR)展开式中 x3的系数为 10，则实数 a 等于( ) (x a x) A1 B. 1 2 C1 D2
3、解析：由二项式定理，得 Tr1C x5r rC x52rar，52r3，r1，C a10r 5 ( a x)r 51 5 ，a2. 答案：D 5在 x(1x)6的展开式中，含 x3项的系数为( ) A30 B20 C15 D10 解析：因为(1x)6的展开式的第(r1)项为 Tr1C xr，x(1x) r 6 6的展开式中含 x3的项为 C x315x3，所以系数为 15.2 6 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6在 6的二项展开式中，常数项等于_ (x 2 x) 解析：方法一：利用计数原理及排列组合知识求解 常数项为 C x3 320x3 160. 3 6 ( 2 x)
4、 ( 8 x3) 方法二：利用二项展开式的通项求解 Tr1C x6r r(2)rC x62r，令 62r0，得 r3.r 6 ( 2 x)r 6 所以常数项为 T4(2)3C 160. 3 6 答案：160 7二项式 6的展开式的第 5 项的系数为 ，则实数 (2x3 a 4x) 1 215 64 a 的值为_ 解析：因为展开式的第 5 项为 T5C (2x3)2 4 x2 4 6 ( a 4x) a4C2 6 43 x2，所以第 5 项的系数为.由已知，得.所以 15a4 64 15a4 64 15a4 64 1 215 64 a481，即 a3 或3. 答案：3 或3 8若 n的展开式中第
5、 3 项与第 7 项的二项式系数相等， (x 1 x) 则该展开式中的系数为_ 1 x2 解析：利用二项展开式的通项公式求解 由题意知，C C ，n8. 2 n6 n Tr1C x8r rC x82r，r 8 ( 1 x)r 8 当 82r2 时，r5， 的系数为 C C 56. 1 x25 83 8 答案：56 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9求()9展开式中的有理项 x 3 x 解析：Tk1 (1)kC x. k 9 27 6 k 令Z，即 4Z，且 k0,1,2，9. 27k 6 3k 6 k3 或 k9. 当 k3 时，4，T4(1)3C x484x4； 27k 63
6、9 当 k9 时，3，T10(1)9C x3x3. 27k 69 9 ()9的展开式中的有理项是：第 4 项，84x4；第 10 项， x 3 x x3. 10在二项式 n的展开式中，前三项系数的绝对值成 ( 3 x 1 23x) 等差数列 (1)求展开式的第四项 (2)求展开式的常数项 解析：Tr1C ()nr rr n 3 x ( 1 23x) rC x . ( 1 2)r n 12 n- r 33 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得 C 2C 2 C ，0 n ( 1 2)2 n 1 2 1 n 解得 n8 或 n1(舍去) (1)展开式的第四项为： T4 3C x 7 . ( 1 2
7、)3 8 2 3 3 x2 (2)当 r0，即 r4 时，常数项为 4C . 8 3 2 3 ( 1 2)4 8 35 8 |能力提升能力提升|(20 分钟，分钟，40 分分) 11二项式 n展开式中含有 x 项，则 n 可能的取值是( ) ( 1 x2 x) A10 B9 C8 D7 解析：因为二项式 n展开式的通项公式为 ( 1 x2 x) Tr1C n1( )r r n ( 1 x2)x (1)rC x， r n 5 -2n+ r 2 令2n1，得 5r4n2， 5r 2 即 r， 4n2 5 即 4n2 是 5 的倍数， 所以满足条件的数在答案中只有 7.故选 D. 答案：D 12(1
8、xx2) 6的展开式中的常数项为_ (x 1 x) 解析： 6的展开式中，Tr1C x6rr(1) (x 1 x)r 6 ( 1 x) rC x62r，令 62r0，得 r3，T4C (1)3C ，令r 63 63 6 62r1，得 r (舍去)，令 62r2，得 r4，T5C (1) 7 24 6 4x2，所以(1xx2)6的展开式中的常数项为 1(C ) (x 1 x)3 6 C 20155. 4 6 答案：5 13求(1x)6(1x)4的展开式中 x3的系数 解析：方法一：(1x)6的通项 Tk1C (x)k(1) k 6 kC xk，k0,1,2,3,4,5,6，(1x)4的通项 Tr
9、1C xr，r0,1,2,3,4，k 6r 4 又 kr3， 则Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Error! x3的系数为 C C C C C C 8. 3 41 6 2 42 6 1 43 6 方法二：(1x)6(1x)4 (1x)(1x)4(1x)2 (1x2)4(1x)2 (1C x2C x4C x6C x8)(1x)2， 1 42 43 44 4 x3的系数为C (2)8. 1 4 14已知 n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成 ( x 1 24x) 等差数列 (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项 解：(
10、1)证明：依题意，前三项系数的绝对值分别是 1，C 1，C 2，1 n( 1 2)2 n ( 1 2) 且 2C 1C 2，1 n 1 22 n ( 1 2) 即 n29n80， 所以 n8(n1 舍去)， 所以 8的展开式的通项为 ( x 1 24x) Tr1C ()8r rr 8x ( 1 24x) rC x x ( 1 2)r 8 8 2 r 4 r (1)rx. Cr 8 2r 16 3 4 r 若 Tr1为常数项，当且仅当0， 163r 4 即 3r16， 因为 rN，所以这不可能， 所以展开式中没有常数项 (2)若 Tr1为有理项，当且仅当为整数 163r 4 因为 0r8，rN，所以 r0,4,8， 即展开式中的有理项共有 3 项， 它们是 T1x4，T5x，T9x2. 35 8 1 256
