《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 章末检测（二） 圆锥曲线与方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 章末检测（二） 圆锥曲线与方程 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末检测(二) 圆锥曲线与方程 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1双曲线1 的右焦点到渐近线的距离是( ) x2 3 y2 6 A. B 36 C3 D6 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于 b，即 b. 6 答案：B 2设 P 是双曲线1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 x2 a2 y2 9 3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于( ) A4 B6 C7 D8 解析：由渐近线方程 y x，且 b3，得 a2，由双曲线的定义，
2、得 3 2 |PF2|PF1|4，又|PF1|3， |PF2|7. 答案：C 3方程(xy)2(xy1)20 的曲线是( ) A一条直线和一条双曲线 B两条双曲线 C两个点 D以上答案都不对 解析：(xy)2(xy1)20Error! Error!或Error! 答案：C 4已知 F1，F2是椭圆1 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A，B 两点， x2 16 y2 9 在AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为( ) A6 B5 C4 D3 解析：根据椭圆定义，知AF1B 的周长为 4a16，故所求的第三边的长度为 16106. 答案：A 5已知椭圆1 的一个焦点为(2,0)，
3、则椭圆的方程是( ) x2 a2 y2 2 A.1 B.1 x2 4 y2 2 x2 3 y2 2 Cx21 D.1 y2 2 x2 6 y2 2 解析：由题意知，椭圆焦点在 x 轴上，且 c2， a2246，因此椭圆方程为1，故选 D. x2 6 y2 2 答案：D 6.如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆 周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕 为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 解析：由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|k|OF|， P 点的轨迹是以 O
4、，F 为焦点的椭圆 答案：A 7从抛物线 y24x 上一点 P 引其准线的垂线，垂足为 M，设抛物线的焦点为 F， 且|PF|5，则MPF 的面积为( ) A5 B. 6 25 3 4 C20 D10 解析：由题意，设 P，则|PF|PM|15，所以 y04， ( y2 0 4 ，y0) y2 0 4 所以 SMPF |PM|y0|10. 1 2 答案：D 8椭圆1 的离心率为 e，点(1，e)是圆 x2y24x4y40 的一条弦 x2 4 y2 3 的中点，则此弦所在直线的方程是( ) A3x2y40 B4x6y70 C3x2y20 D4x6y10 解析：依题意得 e ，圆心坐标为(2,2)
5、，圆心(2,2)与点的连线的斜率为 1 2 (1， 1 2) ，所求直线的斜率等于 ，所以所求直线方程是 y (x1)，即 21 2 21 3 2 2 3 1 2 2 3 4x6y70，选 B. 答案：B 9已知定点 A(2,0)，它与抛物线 y2x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程为 ( ) Ay22(x1) By24(x1) Cy2x1 Dy2 (x1) 1 2 解析：设 P(x0，y0)，M(x，y)，则Error!，所以Error!，由于 y x0，所以 2 0 4y22x2， 即 y2 (x1) 1 2 答案：D 10设 F1，F2为椭圆y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一
6、直线与椭圆 x2 4 交于 P、Q 两点，当四边形 PF1QF2的面积最大时，的值等于( ) PF1 PF2 A0 B2 C4 D2 解析：易知当 P，Q 分别在椭圆短轴端点时， 四边形 PF1QF2的面积最大 此时，F1(，0)，F2(，0)，P(0,1)， 33 (，1)，(，1)， PF1 3 PF2 3 2. PF1 PF2 答案：D 11已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分 别作 y 轴垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为( ) A2 B3 C. D. 5 2 3 2 解析：由题意知 F(1,0)，|AC|BD|AF|FB
7、|2|AB|2， 即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为 通径，即|AB|2p4 时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2. 答案：A 12过椭圆 C：1(ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另 x2 a2 y2 b2 一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线分别交于 A，B 两点(点 A 在 y 轴左侧)，则_. |AF| |FB| 解析：由题意可得焦点 F，故直线 AB 的方程为 yx ，与 x22py 联 (0， p 2) 3 3 p 2 立得 A，B
8、 两点的横坐标为 xAp，xBp，故 3 33 A，B，所以|AF| p， ( 3 3 p，1 6p) ( 3p，3 2p) 2 3 |BF|2p，所以 . |AF| |BF| 1 3 答案： 1 3 16. 已知圆的方程为 x2y24，若抛物线过点 A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为 准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_ 解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1， 则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|， |FA|FB|4，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长 轴两端点) 答案：1
9、(y0) x2 4 y2 3 三、解答题(本大题共有 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(12 分)如果直线 l 过定点 M(1,2)且与抛物线 y2x2有且只有一个公共点， 求直线 l 的方程 解析：当直线 l 的斜率不存在时，x1 与对称轴平行，有一个交点；当直 线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y2k(x1)， 与 y2x2联立，得 2x2kxk20， 由 k28(k2)0 得 k4， 所以直线 l 的方程为 y4x2. 综上，直线 l 的方程为 x1 或 y4x2. 18(12 分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F(2, 0)作斜率为 的直线
10、，交 3 5 双曲线于 M，N 两点，且|MN|4，求双曲线方程 解析：设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由右焦点为 F(2,0)知 x2 a2 y2 b2 c2，b24a2，则双曲线方程为1.直线 MN 的方程为： x2 a2 y2 4a2 y(x2)，代入双曲线方程整理，得 3 5 (208a2)x212a2x5a432a20. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2，x1x2. 12a2 208a2 5a432a2 208a2 |MN| 1( 3 5)2 x1x224x1x2 4. 8 5 ( 12a2 208a2)24 5a432a2 208a2 解得：a21，b24
11、13. 故所求双曲线方程为：x21. y2 3 19(12 分)已知抛物线的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，且过点 P(2,2)， 过 F 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点 (1)求抛物线的方程； (2)设直线 l 是抛物线的准线，求证：以 AB 为直径的圆与准线 l 相切 解析：(1)设抛物线 y22px(p0)，将点(2,2)代入得 p1. y22x 为所求抛物线的方程 (2)证明：设 lAB的方程为：xty ，代入 y22x 得：x2(12t2)x 0，设 1 2 1 4 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0. 12t2 2 点 M 到准线 l 的
12、距离 dx0 1t2，又 1 2 12t2 2 1 2 ABx1x2p12t2122t2，d AB，故以 AB 为直径的圆与准线 l 1 2 相切 20(12 分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，求这个正三角形的边长 解析：如图所示，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且坐 标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y 2px1，y 2px2.又 2 12 2 |OA|OB|，所以 x y x y ，即 x x 2px12px20，整 2 12 12 22 22 12 2 理得(x1x2)(x1x22p)0.因为 x10，x20,
13、2p0，所以 x1x2，由 此可得|y1|y2|，即点 A，B 关于 x 轴对称由此得AOx30，所以 y1x1，与 y 2px1联立，解得 y12p.所以|AB|2y14p. 3 32 133 21(13 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上若右焦点 F 到直 线 xy20 的距离为 3. 2 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点 M，N.当|AM|AN|时，求 m 的取值范围 解析：(1)依题意，可设椭圆方程为y21，则右焦点为 F(，0) x2 a2a21 由题意，知3，解得 a23. | a212 2| 2 故所求椭圆的方程为y
14、21. x2 3 (2)设点 M，N 的坐标分别为 M(xM，yM)，N(xN，yN)，弦 MN 的中点为 P(xP，yP) 由Error! 得(3k21)x26mkx3(m21)0. 直线 ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点， (6mk)24(3k21)3(m21)0m20，解得 m . 2m1 3 1 2 综上可得，m 的取值范围是 b0)，其右焦 x2 a2 y2 b2 点为 F2(1,0)，点 P在椭圆 E 上 (1， 3 2) (1)求椭圆 E 的方程； (2)过椭圆 E 的左顶点 A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 E 交于(不同于点 A 的)两点 M，N. 问：直线 MN 是否一定经过 x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说 明理由 解析：(1)椭圆 E 的右焦点为 F2(1,0)，c1，左焦点为 F1(1,0)，点 P 在椭圆 E 上 (1， 3 2) 2a|PF1|PF2| 4. 112(3 2)2 112(3 2)2 a2，b. a2c23 椭圆 E 的方程为1. x2 4 y2 3 (2)由(1)知 A 点坐标为(2,0)，设直线 AM 的方程为 yk(x2)， 则由Error!(34k2)x216k2x16k2120， 解得 M， ( 68k2 34k2， 12k 34k2) 同理可得 N. ( 6k28 3k24， 12k 3k24
